弧状連結とコンパクト 幾何学の問題です

質問

R＾2の部分集合X＝｛（x，y）∈R＾2：x＾2＋y＾2≧1，|x|＋|y|≦５｝がコンパクトであるか、また、弧状連
結であるかそれぞれ調べなさい。

X＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）∈R^3：x^2－ｙ^2－z＝0，ｘ^2＋ｙ^2≧２｝はR^3の連結部分集合であるがコンパクト集合でないことを示せ。

の２題なんですが、どう解けばいいかわかりません。どちらかだけでもかまいません！教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします！

回答No.1

Tofu-Yo

コンパクトとか弧状連結とか懐かしい響きだなあ…

コンパクトの定義忘れちゃったけどユークリッド空間では有界閉集合と同値だったと思う。そうすると２問とも判定簡単だけど使っちゃっていいのかな？

１の弧状連結についてはどの点からも原点から引いた直線で正方形の周上に辿り着ける。てことはどの２点からも周上のどっかに辿り着けるからさらに周上を伝って２人が出逢えばいいよね。具体的な２点が与えられたらこんな回りくどいルートじゃなくていいんだけど一般に言うにはこういう極端なルートを示す方が証明しやすいと思われ。

連結は…定義忘れちゃったなあ…