Can you find a map R to R that is open but not continuous?

質問

以下の文章がところどころ意味がわからなくて、完全に理解したくてもなかなかできないでいます。この英文の主張を解説していただけないでしょうか？よろしくお願いします。

[原文]
As R is homeomorphic to the open interval (0,1), we will define a function f from R to (0,1) that satisfies the requirements. You can then extend it to a function from R to R by composing it with, for example, h(x) = (2x-1)/(x(1-x)) or a similar function.

We compute x in the following way:
* First, drop the integer part of x - our function will be periodic.
* Next, write x in decimal representation. If you have the choice of two representations, for example, 0.5 = 0.4999..., choose the first one.

* Find the last digit '9' in the number (if there is no last 9, see below).

* Remove all the digits up to and including that '9', and consider the remaining digits. As there will be no '9' among them, you can interpret them as the "decimal" expansion of a number in base 9 - that is your f(x), and it will be between 0 and 1.

However, a few things may go wrong:
* There may be no 9 at all in the number, or an infinite number of 9 (not necessarily contiguous).
* The resulting base 9 number may be 0 or 0.888... = 1 (in base 9)
In both of these cases, set f(x) = 0.5 (or any number between 0 and 1).

For example, to get f(3.1952945):
* Drop everything up to the last 9.
* The remaining number is 0.45, which, interpreted as a number in base 9, is 41/81.

We claim that the image of any open interval is the whole open
interval (0,1), which is an open set. This will show that f is open.

Indeed, given an interval I = (a,b), we can find a sub-interval J of length 10^(-k) contained in it, for a suitable k > 1, such that the interval fixes the first (k-1) digits after the decimal point.

For example, the interval I = (1.14567, 1.15321) contains the sub-interval J = (1.151, 1.152).

Given any y in (0,1), we can find an x in J (and therefore in I) such that f(x) = y. To do that:
* write y in base 9
* append a digit 9 to the lower bound of J.
* append the base 9 representation of y.

For example, with I and J as above, we can find an x such that
f(x) = 1/3.
* 1/3 in base 9 is 0.3.
* The lower bound of J is 1.151.
* the number x = 1.15193 satisifies f(x) = y, and belongs to J.
Note that there are many other possible numbers, obtained by choosing smaller intervals for J, for example, 1.1512393, and so on.
It should also be obvious that f is not continuous (in fact it is in some sense the most discontinuous possible function).

Indeed, a function f is continuous at a if, given any open interval K = (f(a)-e,f(a)+e), we can find an open interval J = (a-d,a+d) such that the image of J is a subset of K. But, by what we just saw, the image of any interval is the whole of (0,1).

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

いや，こりゃなんでもひどすぎでしょう．
もっと的を絞りなさいな．
ちょっと前に，
>* The remaining number is 0.45, which, interpreted as a number in base 9, is 41/81.
のところだけ，聞いてたけどねぇ・・・

数学のある程度（とはいってもきわめて初歩の数学）
専門的な英文だから，英語カテゴリに行っても
厳しいだろうが・・・これって，
丸ごと一個の問題というか塊全部でしょう？

それにタイトルと中身が違うし。。。
>Can you find a map R to R that is open but not continuous?
↑これって意味がわかってますか？

ちなみに・・・この文章は位相空間というよりは，
解析への応用を前提として，
それに必要な位相の準備をしてるような
感じかな・・・．近くにカントールの三進集合とか
シェルピンスキーの三角形の話があったりして．

この文章は，
任意の開区間を(0,1)に写像する関数を
実際に構築してるってことですが，
もっと前に何か文章があるのでしょう．
最初の二行とそのあとの「構築」のつながりが見えません．
そもそも
>we will define a function f from R to (0,1) that satisfies the requirements.
の「the requirement」って何でしょう？
ここで構築しているfは明らかにhomeoではないし・・・

こういう文章を読み解くには
ただ文字を追うのではなく，
実際に具体例を計算しながら読むのです
f(3.141592)じゃなくって，f(0.1)とかf(5.1)とか
いろいろな開区間に対してJってどうなるとか．
自分で計算してみました？
計算してみれば英語を多少誤読してても
その計算が誤読を修正してくれるものです

補足

回答ありがとうございます。
タイトルは「1次元ユークリッド空間ＲからＲへの写像fで、開写像だが連続でないものを見つけれますか？」という意味だと解釈してます。

すいませんm(_ _)m
質問の仕方が雑でした。
本当に申し訳ありません。
自分の訳を一緒に載せ、再度投稿しなおそうと思います。

回答No.1

noname#88823

英語は英語のカテゴリーで聞いてください。

お礼

すこし調べましたが、数学カテゴリーには
英語でのtopologyに関する質問はたくさん投稿されていますが・・・。
タイトルの書き方がまずかったですかね？
これ以上回答者が現れない場合は、タイトルを日本語にして再投稿しようと思います。

補足

回答ありがとうございます。
この英文は内容が位相空間論に関する話ですが、英語のカテゴリーで質問した場合、数学的意味を教えていただけるのでしょうか？

数学のカテゴリーならば、位相を洋書で学ばれた方もたくさんいるだろうと思い投稿しているのですが、そこらへんはどうなのでしょうか？