不定積分の公式を証明して下さい。

質問

√(x^2+a)
の不定積分の答えが
　(x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)|)/2+C
となることを証明して下さい。

部分積分を使うとx√(x^2+a)は出てくるんですが右側がどうしてもlogになりません。

回答No.2

proto · ベストアンサー

ここは、疑問に思うこと理解できないことを質問し、回答をもらう場所ですから。
証明してください、と人任せにするのではなく、証明は自分でやりましょうよ。
でないと勉強になりませんよ。

さて、この積分はやり方を知っていないと少し難しいですからね。
もちろん、＃１さんの言うとおり右辺を微分してみて公式が成り立つことを確認するのも大切ですが。

この積分は部分積分ではなく、置換積分でやってみてください。
　　√(x^2+a) = t-x
と置換します。
両辺二乗して、
　　x^2+a = t^2-2tx+x^2
両辺のx^2は打ち消しあい、さらにxについて解くと、
　　x = (t^2-a)/2t
両辺をtについて微分して、
　　dx/dt = (t^2+a)/(2t^2)

また、
　　√(x^2+a) = t-x = t -(t^2-a)/2t
　　　　　　　= (t^2+a)/2t

ここまでわかれば置換出来るはずです。
置換した後の積分はとても簡単ですよ。
積分した後に置換したtをxに戻すのがこれまた面倒ではあるんですがね。

お礼

回答ありがとうございました。
証明方法が分からなかったんです（汗
ずっと部分積分で解くものだと思っていたので、導き出せなかったみたいですね（苦笑

もう一度解いてみます！！

回答No.3

info22

#1さんの言われるように公式の証明問題なら
不定積分の答を微分して
√(x^2+a)
になることを示せばいいですね。

回答No.1

koko_u_u

>となることを証明して下さい。

答えがわかってるなら、そいつを微分すればいいのでは？

お礼

言葉足らずでした（苦笑
ご指摘ありがとうございます。