因数分解の質問

質問

(b-c)3乗+(c-a)3乗+(a-b)3乗 を因数分解しなさい。

ｂ－ｃ＝Ａ，ｃ－ａ＝Ｂとおくと，Ａ＋Ｂ＝ｂ－ａ・・(1)

原式＝Ａ3乗＋Ｂ3乗＋(a-b)3乗
＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗)＋(a-b)3乗
＝(ｂ－ａ）(Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗)＋(a-b)3乗　　（なぜなら，(1)）
＝（ｂ－ａ）（Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗－（ｂ－ａ）2乗)
＝（ｂ－ａ）（ｂ2乗－２ｂｃ＋ｃ2乗　－ｂｃ＋ｂａ＋ｃ2乗－ａｃ　＋ｃ2乗－２ａｃ＋ａ2乗　－ａ2乗＋２ａｂ－ｂ2乗）
＝（ｂ－ａ）（－3ｂｃ＋3ｃ2乗－3ａｃ＋3ａｂ）
＝（ｂ－ａ）3｛ａ（ｂ－ｃ）＋ｃ（ｃ－ｂ）｝
＝（ｂ－ａ）3（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）
＝3（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ｃ－ａ）・・・(答)

らしいのですが
＝(ｂ－ａ）(Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗)＋(a-b)3乗　　
↓
＝（ｂ－ａ）（Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗－（ｂ－ａ）2乗)
がなぜそうなるのかよくわかりません。
(a-b)3乗がそのまま符合がひっくり返って(b-a)2乗になった？

累乗の入力の仕方がわからなくみにくくて申し訳ないのですがどなたか教えてください。

回答No.3

ye11ow · ベストアンサー

やさし～い説明のつもりです。次の式をご覧ください。

（Ａ－Ｂ）2乗＝（Ｂ－Ａ）2乗　・・・(1)

これを具体的に説明すれば、

Ａ－Ｂ＝－（Ｂ－Ａ）　なので

（Ａ－Ｂ）2乗　＝　{－（Ｂ－Ａ）}2乗　＝　（Ｂ－Ａ）2乗　となるといえます。

右辺のマイナスは2乗すれば消えますので、すぐ(1)と書けますね。

それでは、（Ａ－Ｂ）３乗　を　（Ｂ－Ａ）３乗で表すとどうなるか？

（Ａ－Ｂ）３乗≠（Ｂ－Ａ）３乗　（←「イコール」ではなりません）

正解は、

（Ａ－Ｂ）３乗＝－（Ｂ－Ａ）３乗　・・・(2)

です。　これは、具体的には、

（Ａ－Ｂ）３乗＝{－（Ｂ－Ａ）}３乗

右辺は、マイナス×マイナス×マイナスで、(2)の右辺にはマイナスが残るのです。

↑以上、全く必要が無かったかもしれませんが、何事も「基本が大事」ですので・・・

では、「因数分解」の問題をやってみましょう。
↓これらは、すぐに分かりますか？

Ｃ（Ｂ－Ａ）－（Ｂ－Ａ）２乗　⇒　（Ｂ－Ａ）{Ｃ－（Ｂ－Ａ）}

Ｃ（Ｂ－Ａ）－（Ｂ－Ａ）３乗　⇒　（Ｂ－Ａ）{Ｃ－（Ｂ－Ａ）２乗}

・・・これがわかったら、さらに、こんなのも・・・

Ｃ（Ｂ－Ａ）２乗－（Ｂ－Ａ）３乗　⇒　（Ｂ－Ａ）２乗＊{Ｃ－（Ｂ－Ａ）}

さて、本題に移りますが、これは（因数分解される直前の）質問文の式です。

(ｂ－ａ）(Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗)＋(a-b)3乗　・・・(3)

ここで、「Ｃ＝Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗」　とおくと、

(3) ＝(ｂ－ａ）＊Ｃ＋(a－b）3乗　　となりますが、

先ほどの(2)を用いて、(a－b）をひっくり返せば、

　　＝(ｂ－ａ）＊Ｃ－(ｂ－ａ）3乗　・・・(4)　　ですね！　

この形までくれば、(ｂ－ａ）で全体をくくることができ、

　　＝　(ｂ－ａ）{Ｃ－(ｂ－ａ）２乗}　・・・(5)

と因数分解の形になります。ここで、
Ｃ　⇒　Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗　に戻せば、（因数分解された）質問文の式になります。

(5)　＝（ｂ－ａ）（Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗－（ｂ－ａ）2乗)　・・・(6)

・・・つまり、(6)の一番右側の項が「２乗」になっているのは、
(ｂ－ａ）で全体をくくったからです（(5)にしたところに注目！）。
また、「－（ｂ－ａ）2乗」の頭の「マイナス」は、(4)のところで、

「＋(a－b）3乗」　⇒　「－(ｂ－ａ）3乗」と変換したからです。

＞らしいのですが
＞＝(ｂ－ａ）(Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗)＋(a-b)3乗　　
＞↓
＞＝（ｂ－ａ）（Ａ2乗－ＡＢ＋Ｂ2乗－（ｂ－ａ）2乗)　←「お尻の『カッコ』にも着目」

お礼

感激の説明でした。
感謝。

回答No.2

mister_moonlight

以前に、同じ問題の質問に答えたもの。こっちの方が簡単と思うけど、さほどの違いはないな。ｗ

＞(a-b)^3＋(b-c)^3＋(c-a)^3

a-b＝x、b-c＝y、c-a＝zとすると、x＋y＋z＝0.‥‥(1)
(a-b)^3＋(b-c)^3＋(c-a)^3＝x＾3＋y＾3＋z＾3＝（x＾3＋y＾3＋z＾3-3xyz）＋3xyz＝（x＋y＋z）*（x＾2＋y＾2＋z＾2-xy-yz-zx）＋3xyz＝3xyz＝3（a-b）*（b-c）*（c-a）。　∵　(1)による。

回答No.1

noname#160321

(a-b)^3=-(b-a)(a-b)^2
です。
それだけ。