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偏微分の問題
stomachmanの回答
偏微分は、「ナニがナニによって決まる従属変数なのか」ということをはっきりさせないとおかしくなっちゃいます。 > (∂/∂r)*{(e^r)*x/r}=(e^r)*x(r-1)/(r^2) この計算はまずい。左辺は「xをrの関数だと思って、{(e^r)*x/r}をrで微分する」という意味なのだから、xとは関数x(r)に他ならない。x(r)を陽に書けば x(r) = ±√(r^2 - y^2) (yは定数) である。これを使って (∂/∂r)*{(e^r)*x(r)/r} を計算しよう、ということ。なので、 (∂/∂r)*{(e^r)*x(r)/r} = x(r)*[(∂/∂r)((e^r)/r)] + ((e^r)/r)*[(∂/∂r)x(r)] = (e^r)*x(r)*(r-1)/(r^2) + ((e^r)/r)*[(∂/∂r)x(r)] = (e^r)*(x(r)*(r-1)/(r^2) + 1/x(r)) となる。 > (∂^2*z)/(∂*x^2)={(e^r)*x(r-1)/(r^2)}*(∂r/∂x) というのは、 (∂/∂x)(∂z/∂x) = (∂/∂r)(∂z/∂x)*(∂r/∂x) と考えて計算なさったのでしょう。この関係式は必ずしも間違いではないのだけれども… 右辺に出てくる(∂/∂r)(∂z/∂x)とは、「zをrとxの関数とする。まずrを定数と見て(固定して)zをxで微分する。その結果得られたxとrの関数(∂z/∂x)について、今度はxを定数と見て(固定して)rで微分する」ということを意味しています。 このとき、rとxの間には関係がない(たがいに独立変数だ)と見ている。そして、yを従属変数(すなわちxとrの関数y(x,r))だと思って、 z(x,r) = e^√(x^2+y(x,r)^2) を考えていることになります。y(x,r)を陽に書けば y(x,r) =±√(r^2 - x^2) であり、だから (∂/∂x)y(x,r)=-x/y(x,r) である。これを使うと、 (∂z/∂x)=z(x,r)*(x+y(x,r)*[(∂/∂x)y(x,r)]))/√(x^2+y(x,r)^2) =z(x,r)*(x-x))/√(x^2+y(x,r)^2)=0 となる。rを一定にしたのだから、xが幾らだろうがe^rは一定。当たり前の結論です。だから、 (∂/∂r)(∂z/∂x)*(∂r/∂x)=0 左辺の(∂/∂x)(∂z/∂x)というのは、「zをx(およびその他の独立変数)の関数とする。(その他の独立変数は全部定数だと思って)zをxで二度微分する」ということを意味しています。ですが、「その他」って、ちょっと曖昧です。 これを右辺と同様に「zをxとrの関数とする。rを定数だと思って、zをxで二度微分する」と解釈すると、既に見たように (∂z/∂x)=0 だから (∂/∂x)(∂z/∂x)=0 結局、両辺とも「zをxとrの関数とする。rを定数だと思って、zをxで二度微分する」と解釈すると、 (∂/∂x)(∂z/∂x) = (∂/∂r)(∂z/∂x)*(∂r/∂x) は確かに成り立つんで、間違ってはいない。0=0だけど。 ところが、当初の問題には「z=e^√(x^2+y^2)とする」とあるのだから、(∂/∂x)(∂z/∂x)を計算するに当たって、zはxとyの関数z(x,y)だと思うんでなくてはならない。 要するに、 (∂/∂x)(∂/∂x)z(x,y) ≠ (∂/∂x)(∂/∂x)z(x,r) (左辺はyが一定だと思って微分する。右辺はrが一定だと思って微分する。) である。だから、(∂/∂x)(∂z/∂x)というのがどっちの話をしてるんだか区別しなきゃいけない、ということです。 というわけで、「ナニがナニによって決まる従属変数か」をはっきり決めておく必要がある。それが一目で分かるようにするために、上記のように従属変数を関数の形で(z(x,y), r(x,y)のように)書くと、混乱しにくいと思います。
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