偏微分の問題

質問

次の問題をお教えください。
１)ｚ＝ｅ＾ｘ cosｙのとき、Δｚ＝０を証明せよ。
という問題です。
先生の説明では、｛（∂＾２/∂ｘ＾２）＋（∂＾２/∂ｙ＾２)}{ｅ＾ｘ cosｙ}＝０と言っていましたがそれすらわかりません。

２)tan＾－１(ｙ/ｘ)を偏微分をせよ。
　これは、アークタンジェント＝１/(１＋ｘ＾２)の公式をどう使ったらよいかわかりません。

３)sin＾－１(ｙ/√(ｘ＾２＋ｙ＾２))を偏微分せよ。
　これも、アークサイン＝１/{√(１－ｘ＾２)}からわかりません。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

１）
先生のヒントで自力で解答を作る努力をして下さい。不明点は、先生に質問するのが原則です。
△z　の定義が何かを復習すれば分かると思います。その定義を書いて分からない箇所だけを質問して下さい。
そうすれば何を計算すればいいか、先生のあなた方学生へのヒントの意味する所が分かるでしょう。あなたの勉強不足です。それを回答者へ丸投げしないようにして下さい。

２）偏微分は何で偏微分を行うのか指定がありません。
xの偏微分なら
fx(x,y)=[1/{1+(y/x)^2}]*∂(y/x)/∂x=-y/[(x^2){1+(y/x)^2}]
となります。

３）２）に同じ。
問題は
sin＾－１(ｙ/√(ｘ＾２＋ｙ＾２))を偏微分せよ。
ではなくて
sin-1(x/y)
ということではありませんか？
そうなら
xの偏微分なら
fx(x,y)=[1/√{1+(x/y)^2}]*(1/y)=1/[y*√{1+(x/y)^2}]

もし質問通りだとすれば
xの偏微分なら
(y/√(x^2+y^2)=1/√{1+(x/y)^2} だから

fx(x,y)=1/√[1+{1/√{1+(x/y)^2}}^2]*∂(1/√{1+(x/y)^2})/∂x
=[1/√[1+{1/{1+(x/y)^2}}]*(-1/2)(2x/y^2)/{1+(x/y)^2}^(3/2)
=-x*(√[{1+(x/y)^2}/{2+(x/y)^2}])/[(y^2){1+(x/y)^2}^(3/2)]
=-x*(1/√{2+(x/y)^2}])/[(y^2){1+(x/y)^2}]
=-x/[(y^2)√({1+(x/y)^2}{2+(x/y)^2})]
となります。

お礼

以後、ご指摘されたところを、気をつけたいと思います。
ご回答ありがとうございました！

回答No.4

noname#44733

（１）その式偏微分できますか？そこからです。

３）は２）と同じ答えのはずですよ。だって、同じ角ですから。その式がどんな角をあらわすか、図を書いてみるといいです。
私の解答です。
θ＝tan＾－１(ｙ/ｘ))とおきます。tanθ＝y/xというわけです。
まずyを固定し、定数と見ます。
x=y/tanθよってdx/dθ=-y/sin^2θ
したがって∂θ/∂x=-sin^2/y=-y/(x^2+y^2)
あとは省略します。

補足

ご回答ありがとうございました！

回答No.2

Meowth

sin＾－１(ｙ/√(ｘ＾２＋ｙ＾２))

t=ｙ/√(ｘ＾２＋ｙ＾２)とおくと
t^2=ｙ^2/(ｘ＾２＋ｙ＾２)
1-t^2=x^2/(ｘ＾２＋ｙ＾２)
√{1-t^2}=|x|/√(ｘ＾２＋ｙ＾２)
1/√{1-t^2}=√(ｘ＾２＋ｙ＾２)/x
z=sin＾－１(ｙ/√(ｘ＾２＋ｙ＾２))＝sin＾－１(t)
∂t /∂ｘ=-xｙ/(ｘ＾２＋ｙ＾２)^(3/2)
∂t /∂y=x^2/(ｘ＾２＋ｙ＾２)^(3/2)
∂z/∂ｘ=dz/dt∂t /∂ｘ=-1/√{1-t^2}・xｙ/(ｘ＾２＋ｙ＾２)^(3/2)
=-ｙ/(ｘ＾２＋ｙ＾２)
∂z/∂y=dz/dt∂t /∂y=1/√{1-t^2}・x^2/(ｘ＾２＋ｙ＾２)^(3/2)
=x/(ｘ＾２＋ｙ＾２)

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.1

Meowth

dｚ＝∂/∂ｘ(ｅ＾ｘ cosｙ)dx+∂/∂y(ｅ＾ｘ cosｙ)dy
＝(ｅ＾ｘ cosｙ)dx-ｅ＾ｘ sinｙ)dy
＝ｅ＾ｘ{cosｙdx-sinｙdy}

t=ｙ/ｘとおくと
z=tan＾－１(ｙ/ｘ)＝tan＾－１(t)
∂z/∂ｘ=dz/dt∂t /∂ｘ=1/(1+t^2)(-y/x^2)=-(y/x^2)/{1+(ｙ/ｘ)^2}
=-y/{ｘ^2+ｙ^2}
∂z/∂y=dz/dt∂t /∂y=1/(1+t^2)(1/ｘ)=1/[x{1+(ｙ/ｘ)^2}]
=x/{ｘ^2+ｙ^2}

お礼

ご回答ありがとうございました！