n次導関数を求める問題が分かりません

質問

y = (1/2){(1/(x-1)) - (1/(x+1))}
テキストの例題の解がはしょり過ぎてて理解できません。

y = (1+x)^pのパターンでp=-1とした式を用いてとなっているのですが、、、
宜しくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> y = (1+x)^pのパターンでp=-1とした式を用いてとなっているのですが、、、

このヒントの通り微分すれば良いと思います。
y = (x+1)^pをn回微分すればどうなりますか？
微分を一回するごとに、指数部が前に出て、指数部が「-1」される。ことの繰り返し。最初のpが-1から始まるだけです。

y=(x-1)^pについても同じです。

自力で微分を繰り返して、それを補足に書いてください。
その上でわからない箇所があれば、その箇所について質問して下さい。

補足

回答ありがとうございます。
y = (x-1)^pをn回微分すると
y(n)=(-1)*(-2)*・・・*(-n)(1+x)^(-1-n)になると思いますが
これがどうして問いの解法に結びつくのか理解できません。。。

回答No.4

arrysthmia

←No.2 補足　そうです。

(x-1)^-1 を x で微分するには、z = x-1 とでも置いて、
z^-1 を z で微分したものに dz/dx（すなわち 1）を掛けておけばよい
ので、「何で、y = x^p をパターンにしなかったのかな？」と
気になったのです。

回答No.3

info22

#1です。
A#1の補足質問の回答

>y = (x-1)^pをn回微分すると
>y(n)=(-1)*(-2)*・・・*(-n)(1+x)^(-1-n)になると思いますが
整理すると
(d/dx)^n {1/(x-1)}={(-1)^n}*n!/(x-1)^(1+n)
>これがどうして問いの解法に結びつくのか理解できません。。。
同様に
(d/dx)^n {1/(x+1)}={(-1)^n}*n!/(x+1)^(1+n)
これらの２つの式をnじ導関数の式の最後の式に代入するだけで
いいのではないですか？その式の共通項{(-1)^n}*n!を括りだせば
いいですね。

(d/dx)^n [(1/2){(1/(x-1))-(1/(x+1))}]
=(1/2)(d/dx)^n {(1/(x-1))-(1/(x+1))}
=(1/2)[{(d/dx)^n (1/(x-1))}-{(d/dx)^n (1/(x+1))}]

お礼

お礼が遅れ申し訳ございません。
質問に答えていただき大変ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

y = (1+x)^p のパターン？
何で、y = x^p をパターンにしなかったのかな？

(d/dx)^n (1/2){ (1/(x-1)) - (1/(x+1)) }
= (d/dx)^n (1/2){ (x-1)^(-1) - (x+1)^(-1) }
= (1/2){ (d/dx)^n (x-1)^(-1) - (d/dx)^n (x+1)^(-1) }

だから、(d/dx)^n x^p が解れば、
(d/dx)^n (1/2){ (1/(x-1)) - (1/(x+1)) } も解ります。
(d/dx)^n (1+x)^p を基にしても、何ら変わりは無いけれども。

p と n - p が同符号なら、(d/dx)^n x^p は簡潔ですね。

お礼

お礼が遅れ申し訳ございません。
質問に答えていただき大変ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
(x-1)^-1 と (x+1)^-1をxに対してn回微分して元の式に当てはめればよいのでしょうか？