保存力→ポテンシャル→力 の計算過程について

質問

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
　Fx = -ax(x^2+y^2)
　Fy = -ay(x^2+y^2）

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
　∂Fx/∂y = -2axy
　∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね？（ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・）

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0　であるとすれば、　U(x,y)については線積分で

　U(x,y) =　-∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
　　　　　　-∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}

で与えられ、これについてはおそらく計算間違いでない限り

　U(x,y) = 1/4 * (x^4 + y^4) + (x^2)*(y^2)

となると思います。しかしすると、力を求めるときの
　F = -∇U
に以上の式を代入しますと、

　Fx = -ax(x^2 + 2*y^2)
　Fy = -ay(2*x^2 + y^2)

となり、はじめに提示された力とは若干異なる数値がでてきてしまいます。

これについて疑問を抱いたのですが、あまりにも初歩的で手順が間違ってたとは思えず…おそらく何かを勘違いしているのだと思っています。
（恐らく線積分は始点終点の問題があるのでその辺りに原因か）

このようなことは起こり得ますか？　それとも計算ミスなのでしょうか…
そもそもこのような検算方法は完全ではないのでしょうか
私の誤解にお気づきになられた方はお教えいただけると幸いです。

宜しくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>　U(x,y) =　-∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
>　　　　　　-∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}
この書き方を見る限り、間違っているのはおそらくこの部分ですね。

積分経路のとり方は色々ありますが、
(0,0)→(x,0)→(x,y)
という積分経路を考えるのであれば、

　U(x,y) =　-∫[(0,0)→(x,0)] {-ax(x^2 + y^2) dx}
　　　　　　-∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}
　　　　 =　-∫[(0,0)→(x,0)] {-ax^3 dx}
　　　　　　-∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}

のような感じになります。

お礼

素早い解答感謝いたします。

なるほど納得いたしました。
やはり線積分に問題ありましたか。
このような稚拙な間違いに丁寧に数式まで書いてご解答いただきありがとうございました。

では失礼します。