どうも高校三年生の家庭教師をしているものですが

質問

どうも高校三年生の家庭教師をしているものですが
生徒から質問された
Fx=αx+βy
Fy=γx+δyとする力Ｆ＝（Fx,Fy）があるとするとき
そのときの位置エネルギーＵ（x、y）を求める問題があるのですが
うまく説明できず困っています

どなたかかなり詳しくこの解説をご伝授いただけませんか？

ご回答お待ちしております

回答No.3

ojisan7

Ｎｏ１さんと、Ｎｏ２さんの回答で充分だと思いますが、質問者さんの理解を助ける意味で少し補足させて下さい。

変位Δr間での仕事dＷを考えます。
dW=F・dr=Fxdx+Fydy=(αx+βy)dx+(γx+δy)dy
ただし、F・drの「・」は内積を表すドットです。
Wが積分経路に依存しないための必要充分な条件はdWが、全微分であることです。したがって、
∂W/∂x=αx+βy・・・（１）
∂W/∂y=γx+δy・・・（２）
（１）をxで積分して、
W=∫(αx+βy)dx=(αx^2)/2+βxy+f(y)・・・（３）
（３）を（２）へ代入して、
βy+∂f(y)/∂y=γx+δy
よって、β=γ、∂f(y)/∂y=δyとなるので、
f(y)=(βy^2)/2+c
∴W=(αx^2)/2+βxy+(βy^2)/2+c
仕事Wと位置エネルギーUは
W=-U
の関係があるので、
U=-(αx^2)/2-βxy-(βy^2)/2+c
となります。以下の式が成り立っていることを確認して下さい。
Fx=-∂U/∂x
Fy=-∂U/∂y

回答No.2

noname#196225

既に回答が出てしまいましたが、折角なので。

Fx=αx+βy
Fy=γx+δy

がまず位置エネルギーが定義できるか（保存力か）どうかを
確かめる必要があります。
ここで、位置エネルギーは物体に働く力が保存力である場合にだけ
定義ができます。保存力とは、点を出発して同じ点に戻ってきたときの
仕事の総量が、経路によらず０になる力ということです。

例として、一つの経路を考えてみます。
(x0,y0)→(x1,y0)→(x1,y1)→(x0,y1)→(x0,y0)
という長方形の経路を考え、順番に経路1)～4)としてみましょう。
この動きに対して力場Fから受ける仕事量は、各経路に対して次の様に
計算できます。
1)x方向に沿って動くので、Fxしか仕事しない。∫[x0,x1]Fx(x,y0)dx
2)y方向に沿って動くので、Fyしか仕事しない。∫[y0,y1]Fy(x1,y0)dy
3)同様に、∫[x1,x0]Fx(x,y1)dx
4)同様に、∫[y1,y0]Fy(x0,y)dy
となります。

1)+2)+3)+4)で、元に戻ってくるまでの間に物体がどの程度
力場から仕事を受けているかが分かります。
1) α(x1^2-x0^2)/2+βy0(x1-x0)
2) γx1(y1-y0)+δ(y1^2-y0^2)/2
3) α(x0^2-x1^2)/2+βy1(x0-x1)
4) γx0(y0-y1)+β(y0^2-y1^2)/2
ですので、総仕事量は、
W=γ(y1-x0)(x1-x0)-β(x1-x0)(y1-y0)
となります。

以上により、少なくともこの経路で、
同じ点に戻ってくるまでの仕事量Wが0となる条件を満たしていないと
保存力にならないことが分かります。
（W≠0の状態を、力場は渦を持っているといいます）
これは一例なので、他のあらゆる周回経路について
戻ってきたときにW=0になっていることが必要です。

力Fが保存力となる条件が難しいことが分かったと思います。

以降、#1の人と同じ内容です。お好みで参考にしてください。------------

これ以降は大学で習うことなので、説明する必要は
ないと思いますが、一般的に以下の微分方程式を満たします。
0=dW=∂Fx/∂y-∂Fy/∂x
意味は
1)偏微分の定義
2)保存力の定義(左辺dW=0)、
3)任意の周回経路は微小の周回経路の寄せ集めに分解できる(仕事は可逆的であり、全く同じ道の往復は、道がなかったことと等価)
の三つの事実に基づきます。

上記条件を満たすように変数を減らすと、力場は次の制限を受けます。
(実際はさらに不定の定数項がつきますが、0として割愛します。）
Fx=αx+βy
Fy=βx+δy
保存力では、どのような経路を辿っても位置エネルギーは変わりません。
（これは、定理として覚えてもいいと思います。一応理由は以下。
あるAからBまでの経路に閉じた経路を追加すると、
・閉じた経路の仕事量=0
・同じ道の往復経路は、経路がなかったことと等価
したがって、同じ仕事量で経路を自由に変更できることに由来します。）

上記に従い、分かりやすい経路を自由に決めて積分すれば任意の2点間の位置エネルギーが
計算できます。
x=0,y=0のときU=0とすると、
U(x0,y0)=-∫[0,x0]F(x,0)dx-∫[0,y0]F(x0,y)dy=-αx0^2/2-βx0y0-δy0^2/2
したがって、(x,y)の力場Fによる位置エネルギーUは、
U(x,y)=-(αx^2+2βxy+δy^2)/2
となります。

私も高校生が理解できるレベルではないと思います。

回答No.1

hitokotonusi

高校でこんな問題が出るんでしょうか？
高校の知識では(私は)説明できないので大学の力学を使います。

ある力があってその力について位置のエネルギーが定義できるためには、
その力が保存力である必要があります。保存力であるためには、
ポテンシャルUの微小変化dＵが全微分で書けている必要があるので、

dU＝(∂U/∂x)dx＋(∂U/∂y)dy

力とポテンシャルの関係は

Fx＝-∂U/∂x、Fy=-∂U/∂y

なので、

dU＝(∂U/∂x)dx＋(∂U/∂y)dy　＝　- Fx dx - Fy dy

yを固定してFxをxで積分すると

∫Fxdx＝∫(αx+βy)dx＝(1/2)αx^2+βxy＋f(y)

xを固定してFyをyで積分すると

∫Fydy＝∫(γx+δy)dy＝g(x)＋γxy+(1/2)δy^2

全微分でかけているということは∫Fxdxと∫Fydyが同じ関数-U(x,y)でなければならないのでこの両式を比較して

f(y)＝(1/2)δy^2＋C、g(x)＝(1/2)αx^2＋C、β＝γ

であり（Cは共通の定数)、これから

U(x,y)＝－(1/2)αx^2－βxy － (1/2)δy^2＋C’　（C'=-C)

となります。

正直、高校生には無理だと思います。