クレローの方程式について

質問

y=px+f(x)(ただしp=y')を微分すると「p'=0またはx+f'(p)=0」（１番）がでてきますが、
与式を微分した時点で必要十分が崩れると思いますので、１番だけが解になるという事に疑問に感じました。

僕には、微分したらたまたま与式の解の一部（１番）が出てきたようにしか見えません。
他に与式の微分方程式を満たすような解が存在しないなら、どうして存在しないと言えるのかおしえてください。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

「p'=0またはx+f'(p)=0」は「y=px+f(p)」の必要条件ですが、その十分性は積分定数を限定することで確保されます。

　例えば、「p'=0」からだけでは　ｙ＝Ｃｘ＋Ｄ（Ｃ，Ｄ：積分定数）が得られますが、この式をクロレーの方程式に代入することで、Ｄ＝ｆ（Ｃ）という関係が得られ、未知数が１つ減りますが、この操作が十分性を確保することになります。
　もし「p'=0またはx+f'(p)=0」から得られた解をクロレーの方程式に代入しなければ、確かに質問者さんの言われるように必要性しか言えていませんが、実際には解を得る過程で代入して積分定数を限定しているはずです。

＞他に与式の微分方程式を満たすような解が存在しないなら、どうして存在しないと言えるのかおしえてください。

　また、この記述は必要条件を十分条件と勘違いされていると思います。
　必要条件からは求める解を包含した広い条件が得られますので、必要条件を満たさない解は出てきません。

お礼

Mr_Hollandさん、ありがとうございます。
どうやら、「p'=0またはx+f'(p)=0」は「y=px+f(p)」の必要条件という所でつまづいていたようです。
「p'=0またはx+f'(p)=0」の方が与式より範囲が広いんですね。

十分性の説明もありがとうございました。役に立ちました。