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因数分解 5x2乗+6x+1 …の様な x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方を教えてください。
e_o_mの回答
- e_o_m
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普通xの2乗は x^2 と書きますので、今後この表記を使うようにしましょう。 さて問題の 5x^2+6x+1 の因数分解ですが、これは"たすき掛け"と呼ばれる方法を使います。 因数分解は何をしているのかということをまず確認しておきます。 掛け算は下にあるように左から右へと展開できますね。 (本当は=ですが、式の展開の方向を表すという意味で→を使っています) m(a+b)→ma+mb (x+a)^2→x^2+2ax+a^2 (x+a)(x-a)→x^2-a^2 m(x+a)(x+b)→mx^2+m(a+b)x+mab これを右から左へと式変形するのが因数分解ですね。 ma+mb→m(a+b) x^2+2ax+a^2→(x+a)^2 x^2-a^2→(x+a)(x-a) mx^2+m(a+b)x+mab→m(x+a)(x+b) さて、(ax+b)(cx+d)という式の展開を考えて見ましょう。 (ax+b)(cx+d)=ax(cx+d)+b(cx+d) =acx^2+adx+bcx+bd =acx^2+(ad+bc)x+bd 先ほどと同じように、右【acx^2+(ad+bc)x+bd】から左【(ax+b)(cx+d)】への式変形(因数分解)が出来ますよね。 この acx^2+(ad+bc)x+bd→(ax+b)(cx+d) という因数分解を今から説明する”たすき掛け”という方法で行います。 この因数分解をするために、a,b,c,d,を決めなければいけません 今の場合 ab=5 ad+bc=6 bd=1 となっています。 このa,b,c,d,を決めたいのですが、二つ目の式は少しわかりにくいですよね。 そこで一番上の式と一番下の式からa,b,c,dの候補を出して、二つ目式に代入します。代入して6になるa,b,c,dの組み合わせがわかれば因数分解出来ますね。 ステップ(1)(a,c b,dの候補を決める) 5x^2+6x+1 のx^2の係数5と定数1を掛け算の形にします。 5=1×5=(-1)×(-5) ←a,cの候補 1=1×1=(-1)×(-1) ←b,dの候補 ステップ(2)(二つ目の式に代入) 今書いた数字を縦方向で掛け算をして、それを足し合わせます 5:-1-5 × × 1:1 1 || || (-1)+(-5)=-6 ←6にならないので、このa,c,b,dの候補は違います。 5:1 5 × × 1:1 1 || || 1+5=6 ←6になったので、これが正しいa,c,b,dです。 ステップ(3)(代入して終わり) 先ほどの計算から a,c=1,5 b,d=1,1 となったので acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) に代入します。 5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1) これで因数分解が出来ましたね。 最初はよくわからないかもしれませんが、上の手順に従ってゆっくりとよく考えて計算してみてください。 練習として同じように 2x^2-3x+1 を因数分解してみましょう。 答えは(2x-1)(x-1)となりますが、出来ましたでしょうか。
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