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因数分解 5x2乗+6x+1 …の様な x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方を教えてください。

今まで因数分解を勉強してきて ma+mb=m(a+b) x2乗+2ax+a2乗=(x+a)2乗 x2乗-a2乗=(x+a)(x-a) mx2乗+m(a+b)x+mab=m(x+a)(x+b) は なんとか勉強してきました。 ただ 今回は、参考書を読んでも 5x2乗+6x+1 …の様な x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の 「覚え方」が分かりません。 参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても どーいう覚え方(解き方)をすればイイのか分かりません。 どーいう覚え方(解き方)をすればイイんでしょうか? よろしくお願いします。 今まで因数分解を勉強してきて ma+mb=m(a+b) x2乗+2ax+a2乗=(x+a)2乗 x2乗-a2乗=(x+a)(x-a) mx2乗+m(a+b)x+mab=m(x+a)(x+b) は なんとか勉強してきました。 ただ 今回は、参考書を読んでも 5x2乗+6x+1 …の様な x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の 「覚え方」が分かりません。 参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても どーいう覚え方(解き方)をすればイイのか分かりません。 どーいう覚え方(解き方)をすればイイんでしょうか? よろしくお願いします。

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回答No.5

数学Iの教科書には,公式として, acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)……(1) と記述されていますが,この公式だけを見て理解できる人はいないと思います。 ※これから使う「^」はべき乗を表します。例えば「5^2」は「5の二乗」を表します。 まず,質問者様が困っているという問題,5x^2+6x+1を考えてみましょう。 (1)の公式で,acに当たるものは,問題では「5」です。また,bdに当たるものは「1」です。従って,ac=5,bd=1をみたすa,b,c,dのうち,ad+bc=6になるものを見つければよいのです。 bd=1なので,b=1,d=1というのはすぐに定まります。 acの場合も同様にして,a=1,c=5 又は a=5,c=1に定まります。 ここで,ad+bc=6になるものは,a=1,b=1,c=5,d=1の場合です。 よって,上のa,b,c,dを(1)にあてはめると, 5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1) と因数分解できました。 (x+1)(5x+1)を展開してみますと, 5x^2+x+5x+1=5x^2+6x+1となりますので,計算はあっています。 字面だとよく分からないと思いますので,この場合の因数分解で使う「たすきがけ」の方法を画像添付しておきますので,そちらをご参照ください。

その他の回答 (4)

  • e_o_m
  • ベストアンサー率58% (30/51)
回答No.4

普通xの2乗は x^2 と書きますので、今後この表記を使うようにしましょう。 さて問題の 5x^2+6x+1 の因数分解ですが、これは"たすき掛け"と呼ばれる方法を使います。 因数分解は何をしているのかということをまず確認しておきます。 掛け算は下にあるように左から右へと展開できますね。 (本当は=ですが、式の展開の方向を表すという意味で→を使っています) m(a+b)→ma+mb (x+a)^2→x^2+2ax+a^2 (x+a)(x-a)→x^2-a^2 m(x+a)(x+b)→mx^2+m(a+b)x+mab これを右から左へと式変形するのが因数分解ですね。 ma+mb→m(a+b) x^2+2ax+a^2→(x+a)^2 x^2-a^2→(x+a)(x-a) mx^2+m(a+b)x+mab→m(x+a)(x+b) さて、(ax+b)(cx+d)という式の展開を考えて見ましょう。 (ax+b)(cx+d)=ax(cx+d)+b(cx+d)       =acx^2+adx+bcx+bd =acx^2+(ad+bc)x+bd 先ほどと同じように、右【acx^2+(ad+bc)x+bd】から左【(ax+b)(cx+d)】への式変形(因数分解)が出来ますよね。 この acx^2+(ad+bc)x+bd→(ax+b)(cx+d) という因数分解を今から説明する”たすき掛け”という方法で行います。 この因数分解をするために、a,b,c,d,を決めなければいけません 今の場合 ab=5 ad+bc=6 bd=1 となっています。 このa,b,c,d,を決めたいのですが、二つ目の式は少しわかりにくいですよね。 そこで一番上の式と一番下の式からa,b,c,dの候補を出して、二つ目式に代入します。代入して6になるa,b,c,dの組み合わせがわかれば因数分解出来ますね。 ステップ(1)(a,c b,dの候補を決める) 5x^2+6x+1 のx^2の係数5と定数1を掛け算の形にします。 5=1×5=(-1)×(-5) ←a,cの候補 1=1×1=(-1)×(-1) ←b,dの候補 ステップ(2)(二つ目の式に代入) 今書いた数字を縦方向で掛け算をして、それを足し合わせます 5:-1-5  × × 1:1 1  ||  || (-1)+(-5)=-6 ←6にならないので、このa,c,b,dの候補は違います。 5:1 5  × × 1:1 1  ||   ||  1+5=6 ←6になったので、これが正しいa,c,b,dです。 ステップ(3)(代入して終わり) 先ほどの計算から a,c=1,5 b,d=1,1 となったので acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) に代入します。 5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1) これで因数分解が出来ましたね。 最初はよくわからないかもしれませんが、上の手順に従ってゆっくりとよく考えて計算してみてください。 練習として同じように 2x^2-3x+1 を因数分解してみましょう。 答えは(2x-1)(x-1)となりますが、出来ましたでしょうか。

  • gef00675
  • ベストアンサー率56% (57/100)
回答No.3

問題ごとに解き方を覚えていたのでは、いくら記憶力があっても足りませんから、基本的な解き方を覚えてそれを応用しましょう。 問題が、5+6y+y2乗 の因数分解であればわかりますね? これは、元の式5x2乗+6x+1をx^2で割って、x分の1をyとおいたものです。そうすると、 5+6y+y2乗=(1+y)(5+y)  5x2乗+6x+1=(x+1)(5x+1)  この二つは根本的に同じことをしています。

  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)
回答No.2

こんばんは。 よく使われるのは「たすきがけ」という手法です。 下記には、「たすきがけ」と「新しい方法」があるので、ご覧になってみてください。 http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/factorquad.htm ご参考になりましたら幸いです。

  • owata-www
  • ベストアンサー率33% (645/1954)
回答No.1

この場合は5x2乗+6x+1にx=-1を代入すると0になるので因数定理 http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm より、因数分解をした時に(x+1)が出てくることがわかります それを踏まえてやると 5x2乗+6x+1=5(x+1)(x+1/5) となることがわかります。 それがピンとこなければ解の公式を使って x=(-6±√{(-6)^2-4×5×1})/5 より x=-1、-1/5 となります。 これを使えば同様に 5x2乗+6x+1=5(x+1)(x+1/5) となりますね

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