Newton法について

質問

数値計算の問題でわからないのがあるので教えてください。

a，bを実数とするとき、以下の連立方程式を多変数Newton法で解くための漸化式を書き記せ。
x^2-y^2-a=0
2*x*y-b=0

なんですが、Newton法の公式をどのように当てはめるのかわかりません。誰か教えてください、お願いしますm(__)m

回答No.2

kony0 · ベストアンサー

stomachmanさんの#1の回答について、ささやかな疑問です。。。

> ((∂f/∂x)(x[n],y[n]))(x-x[n])+((∂f/∂y)(x[n], y[n]))(y-y[n])=f(x[n],y[n])
> ((∂g/∂x)(x[n],y[n]))(x-x[n])+((∂g/∂y)(x[n], y[n]))(y-y[n])=g(x[n],y[n])

これって、右辺にマイナスいりませんっけ？

私の感覚では、１次元の方程式f(x)=0を解くNewton法は、
点(x[n],f(x[n])におけるy=f(x)の接線を引き、それとx軸の交点を(x[n+1],0)とする方法であり、
f'(x[n])(x[n+1]-x[n])+f(x[n])=0
というものです。

同じように、f:R^n→R^n, x∈R^nに対しても、f(x)=0を解くNewton法は
∇f(x[n])(x[n+1]-x[n])+f(x[n])=0（←零ベクトル）
でいけると思っているのですが。。。

ここで、∇f(x)はn次正方行列であり、そのi行j列成分は(∂f_i/∂x_j)としています。

ちなみに、stomachmanさんの表記と私の表記のあいだには、
f→f_1, g→f_2, x→x_1, y→x_2
の関係があります。

回答No.4

kei_

#2 さんの言うとおりマイナスがいりますね。
一般的にはニュートン法は、非線形連立方程式:
f_i(x) = 0 for i = 1, 2, ..., N（ただし x は N 次のベクトル）
を満たすような x の値を近似的に出す方法です。

任意の x をとったとき（ただしなるべく解の近傍の値）、
その点から δx （これもベクトル）移動した点での f の値は、
f_i(x+δx) = f_i(x) + (∇f_i)*(δx) + O(δx^2)
となります。ここで∇は #2 さんと同じく微分を表しています。
また、* はベクトルの内積、O は誤差を表しています。

このとき、f_i(x+δx) をなるべく 0 に近づけたいわけですから、
f_i(x+δx) = 0
つまり
f_i(x) + (∇f_i)*(δx) = 0
を満たすように、δx を求めればいいのです。

#1 さんの式にでいうと右辺の f や g が第一式の f_i(x) にあたり、
左辺の微分の項が、(∇f_i)*(δx) にあたります。

よって、#2 さんの指摘のとおり、#1 さんの式の右辺にはマイナスがつきます。

回答No.3

kony0

ということで、
縦ベクトルを[x,y]、正方行列を[(a,b),(c,d)]のように表記します。
（転置記号とか、面倒なのでつけません。行列は、１行目(a,b)、２行目(c,d)と読んでください）

今の点を[x,y]、反復の次の点を[x',y']とすると、
[(2x,-2y),(2y,2x)]{[x',y']-[x,y]}+[x^2-y^2-a,2xy-b]=0
より
[x',y']=[(2x,-2y),(2y,2x)]^(-1)・[x^2-y^2+a,2xy+b]
=(1/4(x^2+y^2))[(2x,2y),(-2y,2x)]・[x^2-y^2+a,2xy+b]
となります。
とりあえず、[x,y]≠[0,0]と初期値を取れば、きっとどちらかの点に収束してくれるはずです。（一応Excelで確認したつもり・・・）

回答No.1

stomachman

f(x,y)=0
g(x,y)=0
という連立方程式を解くのにNewton法を使う。
Newton法ってのは、解の近似値 (x[n],y[n])が与えられたときに、その点(x[n],y[n])における接平面で関数f,gをそれぞれ近似するんでした。だから
((∂f/∂x)(x[n],y[n]))(x-x[n])+((∂f/∂y)(x[n], y[n]))(y-y[n])=f(x[n],y[n])
((∂g/∂x)(x[n],y[n]))(x-x[n])+((∂g/∂y)(x[n], y[n]))(y-y[n])=g(x[n],y[n])
という連立一次方程式が得られます。ここに
((∂f/∂x)(x[n],y[n]))
てのはfをxで偏微分した導関数にx=x[n], y=y[n]を代入したものです。他も同様。

これをx,yについて解いた解を新しい近似値(x[n+1],y[n+1])とし、また繰り返す。ですから
((∂f/∂x)(x[n],y[n]))(x[n+1]-x[n])+((∂f/∂y)(x[n], y[n]))(y[n+1]-y[n])=f(x[n],y[n])
((∂g/∂x)(x[n],y[n]))(x[n+1]-x[n])+((∂g/∂y)(x[n], y[n]))(y[n+1]-y[n])=g(x[n],y[n])
ということになっている。あとは
x[n+1]=…
y[n+1]=…
という形に整理すれば出来上がりです。

お礼

どうもご丁寧にありがとうございましたm(__)mおかげで参考になりました。