数列

質問

n
Σk*2^k-1
k=1

を初項をkとして公比を2として等比数列の和の公式で求めるとやばいのは
何でですか？

回答No.1

cametan_42 · ベストアンサー

やばい(笑)。

まあ、やばいかやばくないかはともかくとして(笑)、単純に与式が「等比数列じゃない」から、ですよ。「等比数列の定義」をおさえておいてください。

等比数列とは、名前が指し示す通り、第n項と第n－1項の「比」が一定だ、と言う意味です。
ところが与式は

1、4、12、32、80、……

と言う数列を表していますね。

第2項と第1項の比…4
第3項と第2項の比…3
第4項と第3項の比…8/3
第5項と第4項の比…5/2
……

となってるでしょ?「等」比じゃないです。等比数列だったら、同様の計算やっても全て比は「同じ数」で「定数」ですね。
だから、与式は(そんな言い方はしませんが・笑)「非」等比数列です(笑)。従って「等比数列の和の公式」なんて適用出来る筈が無い、んです。当たり前、ですね。

回答No.3

fukuda-h

単純に等比数列の和ではないですね。2^0が１個、2^1が２個、2^2が３個、2^3が４個、2^４が５個、2^5が６個・・・・とふえていきますからね。

１個ずつの和、2^0+2^1+2^3+2^4+2^5+2^6+・・・・ならば等比数列の和になるのでこの形に書き換えてやるとどんな和を取っているかわかると思います。
つまり、
n
Σk*2^k-1=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+5*2^4+6*2＾5+・・・・・
k=1
　　　　　=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+・・・・
　　　　　　　+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+・・・・
　　　　　　　　　+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+・・・・
　　　　　　　　　　　+2^3+2^4+2^5+2^6+・・・・
+2^4+2^5+2^6+・・・・
+2^5+2^6+・・・・
・・・・・・・
初項がどんどんずれていってるのがわかると思います。１行ずつは等比数列の和になっているので和を求めるときに等比数列の和の求め方を応用して求めるんです。

回答No.2

pu-san77

等比数列ではないですね。
初項をkと考えるのが間違いです。
1*2^(1-1), 2*2^(2-1), 3*2^(3-1), ・・・
kを初項と考えるとkが項ごとに変っていきます。
初項は一番初めの項なので、矛盾します。
等比数列の一般項はan=a*r^(n-1) a：初項、r：項比
a=2,r=3とすると
2*3^(1-1), 2*3^(2-1), 2*3^(3-1), ・・・