図形と極限の問題(大学入試レベル)

質問

どうしても解けない問題があって困っています。アドバイス、ご指導お願い致します！

【問題】
半径aで中心が点Ａの円、半径bで中心が点Ｂの円があって、この２円が点Ｃで接している。
その点Ｃにおける２円の共通接線上に、点Ｃからの距離hの点Ｐ(ＣＰ＝ｈ)がある。
点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐを結び、ＡＰと(中心Ａの)円の交点を点Ｑ、ＢＰと(中心Ｂの)円の交点を点Ｒとする。
このとき、ＱＲを求め、ｈ→０のときの極限ＱＲ/h^2を求めよ。

という問題ですが、ＱＲがうまく出せずに困っています。ＡＣとＢＣがＰＣと直交していることから面積を使って何か関係式を作れないものか色々試みましたが、出来そうで出来ませんでした。ＱＲが出せればh^2で割るだけなので、極限はでそうですが、、、。

勉強不足ですいません！どうかよろしくお願いします！

回答No.4

jaspachate

補助線を入れて直角三角形と相似比だけで解きます。

QからABに下ろした垂線の足を点S、RからABに下ろした垂線の足を点Tとおく。

QR^2 = (SC+TC)^2 + (QS-RT)^2 ----(1)

AP = √(a^2+h^2)、　BP = √(b^2+h^2)
SC = a - a^2/AP、　TC = b - b^2/BP
QS = ah/AP、　RT = bh/BP
これらを(1)に代入しh^4で割ると、

QR^2/h^4
= [ a{ 1 - a/√(a^2+h^2) }/h^2 + b{ 1 - b/√(b^2+h^2) }/h^2 ]^2
+ [ { a/√(a^2+h^2) - b/√(b^2+h^2) }/h ]^2

ここで微分の定義から、
a{ 1 - a/√(a^2+h^2) }/h^2
= {a/√(a^2+h^2)} ( √(a^2+h^2) - a )/h^2
→　{ 1 } (√(x))'|(x=a^2) [h→0]
= 1/(2a)
同様に、
b{ 1 - b/√(b^2+h^2) }/h^2
→ 1/(2b) [h→0]

また、
{ a/√(a^2+h^2) - b/√(b^2+h^2) }/h
= { a√(b^2+h^2) - b√(a^2+h^2) } / { h√(a^2+h^2)√(b^2+h^2) }
= ( a^2-b^2 )h / { √(a^2+h^2)√(b^2+h^2)( a√(b^2+h^2) + b√(a^2+h^2) ) }
→ 0 [h→0]

以上から、
QR/h^2 → 1/(2a) + 1/(2b)

補足

回答ありがとうございます！補助線ですか！目から鱗です。
汚い式でどうしたものかと思っていましたが、ここ数日のモヤモヤがすっきりしました。ありがとうございます。

最後に一つ、細かいことなのですが、１つ質問があります！
もしよければ教えてください。回答の最後で、h→0のとき、

QR^2/h^4　→　{ 1/(2a) + 1/(2b)　}^2　
よって、QR/h^2　→　1/(2a) + 1/(2b)　　となっているのですが、
間違いはないとわかっていますが、完全に納得しきれていません。

中学生でも分かる、ｘ^2=9 ならば ｘ=(+-)3
と同じように考えて、今回はQRもhも正なので「＋」として本問の答えが、1/(2a) + 1/(2b)
となっているのかなと勝手に解釈しましたが、
今回の回答のような「極限」の場合はどうなのでしょうか？
極限で、▲^2→■^2 ならば、必ず　▲→■　となるのでしょうか？

よく分かっていないため、上の記述も伝わりにくいかもしれませんが、教えていただけると幸いです。

要は、QR^2/h^4　→　QR/h^2　
というところです。よろしくお願いします。