軌跡の問題です。

質問

ｘｙ平面上の２点（0,0),(0,2)を通り第一象限に中心を持つ円をＣ１とし、Ｃ１とｘ軸との２交点を通り第四象限に中心を持つ円をＣ２とする。Ｃ１とＣ２が直交するように変化するとき、Ｃ１の中心とＣ２を結ぶ線分の中点の軌跡を求め、図示せよ。
ただし、２円が直交するとは、２円が交点をもち、その交点における両者の接線が直交することをいう。
この問題が難しくて解けません、誰かとけますか？

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

C1:円の中心を(a,b)、半径をrとすると

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (1)

(0,0),(0,2)を通ることより

b=1,r^2=a^2+1

(1)は

(x-a)^2+(y-1)^2=a^2+1 (2)

この円のｘ軸との交点は(2)でy=0とおいて

x=0,2a

したがってC1は（2a,0)を通る。

C2は(0,0),(2a,0)をとおる。

C2の中心はx=a上にある。

衷心を（a,p),半径をRとすると

(x-a)^2+(y-p)^2=R^2 (3)

(0,0)をとおることから

R^2=a^2+p^2

(3)は

(x-a)^2+(y-p)^2=a^2+p^2 (4)

Ｃ１とＣ２が直交するためには原点において傾きの積が-1になればよい。

(2)を微分して

2(x-a)+2(y-1)y'=0

(0,0)ではy'=-a (5)

(4)を微分して

2(x-a)+2(y-p)y'=0

(0,0)では

y'=-a/p　　　　(6)

(5)(6)の積が-1
すなわち

a^2/p=-1

p=-a^2　　　　(7)

Ｃ１の中心とＣ２を結ぶ線分の中点(x,y)ha

x=a, y=(1+p)/2=(1-a^2)/2 (8)

これらからaを消去して

y=(1-x^2)/2

これが答え

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

C1の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2=r^2より、(0,0)と(0,2)を代入して、
a^2+b^2=r^2
a^2+b^2-4b+4=r^2

2式より、b=1
C1の中心はy=1上にあります。x軸との交点は、(0,0)ともう一つとなります。
C1の中心を通るy軸に並行な線で折り返すと、対称点にもう一方の交点を持つので、(2a,0)がもう一つの交点になります。

次に、C2を考えるのですが、直交する円を考える際、円の中心から円周上に引いた線とその点での円の接線は直交します。
すなわち、各円の中心から交点へそれぞれ引いた直線が直角となれば良い。
C2の円を(x-c)^2+(y-d)^2=r2^2で(0,0)と(2a,0)を通るから、
c^2+d^2=r2^2
4a^2-4ac+c^2+d^2=r2^2

2式より、c=aとなり、C2の中心はx=a上にあることになる。

(0,0)点で考えると、C1の中心までは(a,1)、C2の中心までは(a,d)。
この内積を取るとa^2+d=0ならば、直交する。従って、d=-a^2。

C1とC2の交点は、(a,1)と(a,-a^2)の中点は(a,(1-a^2)/2)となる。(aは任意)