偏微分

質問

C^2級の関数ｚ＝ｚ(ｘ,y)がz＝f(x)g(y)
という形であらわせるための必要十分条件はz*∂^2z/∂x∂y=∂z/∂x*∂z/∂y
であることを示せ。
困っています。よろしくおねがいします。

回答No.3

motsuan · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=224172
なぜ変数分離形の解の線形結合をとれば一般解に なるのでしょうか?とは関係ないところで
回答しようとしてどつぼったのがちょっとわかった気がするので

z=f(x)g(y)と表されているとすると

log(z(x+dx,y+dy)) = log(f(x+dx)) + log(f(y+dy))
= A0 + B1*dx + B2*dx^2 + C1*dy + C2*dy^2 + o(3)　　-------（※）

という「形」で表されます。いっぽう

z(x+dx,y+dy) = z(x,y) + (∂_x)z(x,y)*dx + (∂_y)z(x,y)*dy + (∂_x∂_y)z(x,y)*dxdy
+(∂_x)^2z(x,y)*dx^2 + (∂_y)^2z(x,y)*dy^2 + o(3)

となります。これを簡単のため
z :z(x,y)
z_x :(∂_x)z(x,y)
z_xy :(∂_x∂_y)z(x,y)
などと表して

z(x+dx,y+dy) = z[ 1 + (1/z){(z_x)*dx + (z_y)*dydy + (z_xy)*dxdy + (z_x)^2*dx^2 + (z_y)^2*dy^2} ]+o(3)
= z(1 + Δz)+o(3)　　-------（☆）

と整理します。ここで

Δz = (1/z){(z_x)*dx + (z_y)*dydy + (z_xy)*dxdy + (z_x)^2*dx^2 + (z_y)^2*dy^2}.

☆をlog(z(x+dx,y+dy))に代入すると、

log(z(x+dx,y+dy)) = log(z) + 1 + Δz - (1/2) Δz^2 + o(3)

となるからそれを整理して、dxdyが混ざった項を２次まで取り上げてみると、
Δzの(1/z)(z_xy)*dxdyと,Δz^2の2(1/z^2)(z_x)*dx*(z_y)*dy となります。
log(z(x+dx,y+dy))に混ざった項が現れないという※の条件は

0 = (1/z)(z_xy)*dxdy - (1/2)*2(1/z^2)(z_x)*dx*(z_y)*dy = 0
=(1/z^2)[z*(z_xy) - (z_x)*dx*(z_y)]*dx*dy　　-------（★）

となって、問題の方程式が出てきます。これでようやく必要条件ができました。
必要十分条件であることを確認したいとのことなのでそれも書いておきます。
直接z=exp(ζ)と置いてしまえば条件式は∂^2ζ/∂x∂y＝０となります。
あとはｘとyでで積分（積分定数Cは積分する変数を含まないことに注意）すればよいのですが
パラメータの絡まり具合の問題であることが分かるかなと思って展開してみました。
個人的にすっきりしたので上げさせていただきました。

それにしても、このあとの次数でも★のような打ち消しがおこるのかと思うと
実に関数というのは不思議なものです。

お礼

丁寧な回答、アドバイスありがとうございます。参考にさせていただき、もう一度考えたいと思います。

回答No.2

noname#108554

z*∂^2z/∂x∂y=∂z/∂x*∂z/∂y
⇔
(∂/∂x(∂z/∂y))/(∂z/∂y)=(∂z/∂x)/z
と書き直せば、分かりやすいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.1

wolv

以下の(1),(2)を示せばよい。
(1)「z＝f(x)g(y)」 ならば「z*∂^2z/∂x∂y=∂z/∂x*∂z/∂y 」
(2)「z*∂^2z/∂x∂y=∂z/∂x*∂z/∂y 」 ならば「z＝f(x)g(y)」

(1)は簡単ですね。

補足

回答ありがとうございます。（１）必要条件はわかるのですが、（２）十分条件のほうが、どうしても手が出ません。よろしくお願いします。