微分の問題？？

質問

Z＝Z（ｘ，ｙ）がｘ＋ｙだけの関数であるための必要十分条件はZⅹ＝Zｙである事を示せという問題があるのですが、これって、Ｚはｘとｙで表された関数で、Ｚをｘで一回微分したものと、Ｚをｙで一回微分したものが同じであって、それがｘ＋ｙだけの関数である事を示せって事ですよね？
なんで、ｘ＋ｙだけの関数になる！って事が言えるのか分からないのですが、誰か分かる方回答よろしくお願いいたします。

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

No.2補足の回答です。

＞(∂Z/∂x)=(df/dt)(∂t/∂x)=(df/dt)=(df/dt)(∂t/∂y)=(∂Z/∂y)

これは合成関数の微分法です。

たとえば、f(t) = Z(x), t = x + a (aは定数）とすると、
dZ/dx = (df/dt)(dt/dx) = (df/dt)*1

(∂Z/∂x)は、yを定数扱いしてxで微分するので、これと同じことになります。

お礼

ありがとうございました。本当に助かりました。

回答No.2

shkwta

Zxというのは(∂Z/∂x)、Zｙというのは(∂Z/∂y)のことですね？

必要条件は、
t=x+y, f(t)=z(x,y) とおいて
(∂Z/∂x)=(df/dt)(∂t/∂x)=(df/dt)=(df/dt)(∂t/∂y)=(∂Z/∂y)

十分条件は
t=x+y, u(x,t)=z(x,t-x)=z(x,y) とおいて、
(∂u/∂x) = (∂z/∂x) - (∂z/∂y) = 0

という方針でやれば示せると思います。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。
(∂Z/∂x)=(df/dt)(∂t/∂x)=(df/dt)=(df/dt)(∂t/∂y)=(∂Z/∂y)
って、どういう事を表しているのかイマイチ分からなくて、教えていただきたいのですが・・・。

回答No.1

eatern27

例えば、u=x+y,v=x-yと変数変換して、
∂Z/∂v=0
である事を証明できれば、

Zはvにはよらない関数、つまり、u(=x+y)のみの関数であると言えるんじゃないないですかね。