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(cosx)^8の積分
inara1の回答
【計算のための準備】 cosの加法定理から cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) この両辺を足し合わせれば cos(a+b) + cos(a-b) = 2*cos(a)*cos(b) → cos(a)*cos(b) = { cos(a+b) + cos(a-b) }/2 --- (1) ・・・ cosの積を和に変換する公式 特にa = b = x とすれば cos^2(x) = { cos(2*x) + 1 }/2 --- (2) ・・・ cosの2乗をcosに変換する公式 【cos^8(x) を cosの式に変換する】 公式(2)から cos^4(x) = {cos^2(x)}^2 = { cos(2*x) + 1 }^2/4 = { cos^2(2*x) + 2*cos(2*x) + 1 }/4 --- (3) cos^2(2*x) というのは公式(2)の x を 2*x に置き換えたものなので cos^2(2*x) = { cos(4*x) + 1 }/2 したがって式(3)は cos^4(x) = [ { cos(4*x) + 1 }/2 + 2*cos(2*x) + 1 ]/4 = { cos(4*x) + 4*cos(2*x) + 3 }/8 となります。問題の被積分関数はこの cos^4(x) をさらに2乗したものなので cos^8(x) = { cos^4(x) }^2 = { cos(4*x) + 4*cos(2*x) + 3 }^2/64 = { cos^2(4*x) + 16*cos^2(2*x) + 9 + 8*cos(4*x)*cos(2*x) + 24*cos(2*x) + 6*cos(4*x) }/64 --- (4) と展開できます。 式(4)の第一項 cos^2(4*x) は公式(2)から cos^2(4*x) = { cos(8*x) + 1 }/2 第二項 cos^2(2*x) も公式(2)を使えばcos^2(2*x) = { cos(4*x) + 1 }/2 第三項 cos(4*x)*cos(2*x) は公式(1)を使えば cos(4*x)*cos(2*x) = { cos(6*x) + cos(2*x) }/2 なので cos^8(x) = { cos(8*x) + 8*cos(6*x) + 28*cos(4*x) + 56*cos(2*x) + 35 }/128 この積分は簡単でしょう。
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