等式の変換

質問

等式の変換について教えてください。

Y = A * exp(B * X) + X

上の式について、(X = ...)の形にするには、どうすればいいでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の補足質問の回答

>A=0.433、B=-0.53
>この場合、AB＜0ということで、f(y)は2つあるということですね。
>ちなみに、yの定義域は、(0＜y≦10) です。
(0＜y≦10)で使用しているとのことですが、
このA,Bに対する関数x=f(y)
の関数自体のの定義域は
y≧-.890369478
（ 等号時のx=f(-.890369478)=-2.777161930 ）
となります。この定義域に(0＜y≦10)は含まれていますので
(0＜y≦10)の範囲で以下のf(y)は定義できていますので
(0＜y≦10)の範囲のyに対して以下のf(y)の式がそのまま使えます。

y＞-.890369478でのx=f(y)は二価関数となりますので
1つのyに対して、2つの関数値を持ちます。
x=f(y)＞-2.777161930では
x=f(y)=y+(1/0.53)*W(-0.53*0.433*exp(-0.53*y))

x=f(y)＜-2.777161930では
x=f(y)=y+(1/0.53)*W(-1,-0.53*0.433*exp(-0.53*y))

となります。
これらのf(y)はtaylor展開ではありませんので
一点y=aでの関数の近似値を与える式ではなく
(0＜y≦10)の範囲の任意のyに対してf(y)を与える式になります。

なお、
yに対するLambertW関数を含む計算は数式処理ソフトの
Maple10などで瞬時に行えますが、
そうでない場合は
yに対して、Newton法でW(u)やW(-1,u)の数値計算をすれば
f(y)の式に代入してx=f(y)が計算できます。

お礼

教えて頂いた数式で結果を見たところ、うまくいきました。
自分でももう少し勉強しようと思います。
ありがとうございました。

回答No.4

gef00675

ごめんなさい
タイプミスがありました。

x = y0 + y1*(y-a) + y2*(y-a)^2/2! + y3*(y-a)^3/3! +…

です。

お礼

正直いうと、まだ計算できてないのですが、時間があるときにテイラー展開についても調べてみようかと思います。
回答をいただき、ありがとうございました。

回答No.3

gef00675

ｂ＝１の場合で計算してみました。
（一般のｂの場合は、ｙ→ｂｙ、ｘ→ｂｘ、ａ→ｂａと置き換えれば
得られます）

無限級数での表示は、次のようになります。
x = y0(a) + y1(a)*(y-a) + y2*(y-a)^2/2! + y3*(y-a)^3/3! +…
ここで、y0=0, y1=1/(a+1)、y2=-a/(a+1)^3, y3=-a(4-2a)/(a+1)^5,...

これを、y＝aのまわりのテイラー展開といいます。
ｙ＝ａの近くでなりたつ近似式の一種です。
電卓などで計算してみると、かなりよくあっていることがわかると思います。

回答No.2

info22

#1さんの回答の通り、高校の数学までの範囲では
X＝f(Y)
の形に直すことはできません。
つまり、初等関数を使ってf(Y)を表す事は不可能という事です。

１）無限級数による近似式で表せる方法
２）大学での数学レベルの範囲の特殊関数（超越関数）である
LambertW関数を使ってf(x)を表す方法
があります。

どちらの場合でも
AB>=0の場合は
f(y)は一価関数となるので
yの1つの値に対してx=f(y)の値が一意的に１つ定まります。

しかし
AB<0の場合は
x=f(y)のyの定義域が存在します。
f(y)は二価関数なので
1つのxに対してf(y)の値が２つ存在しますので一意的に
f(y)が決まりません。
yの定義域を２つに分割すれば
それぞれの定義域については一価関数化できますので
それぞれのyの定義域について
x=f(y)を満たすf(x)が一意的にに定まります。

なお、大学数学以上のレベルになりますが
LambertW関数を使ってのx=f(y)のf(y)が必要なら
補足質問して頂けば回答いたします。

LambertW関数については参考URLをご覧下さい。
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

補足

お返事ありがとうございます。

例なのですが、具体的な数値を言ってしまいますと、
A=0.433、B=-0.53
この場合、AB＜0ということで、f(y)は2つあるということですね。
ちなみに、yの定義域は、(0＜y≦10) です。

可能なら回答をお願いします。
具体的な数値を入れてしまい非常識だとしたらすみません。

回答No.1

gef00675

高校までの数学で、その式をＸ＝（Ａ，Ｂの式）の形に表す
のは無理です。
無限級数を使えばできますが、知りたいですか？

お礼

お返事ありがとうございます。
できるなら知りたいです。