- ベストアンサー
等式の変換
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#2です。 A#2の補足質問の回答 >A=0.433、B=-0.53 >この場合、AB＜0ということで、f(y)は2つあるということですね。 >ちなみに、yの定義域は、(0＜y≦10) です。 (0＜y≦10)で使用しているとのことですが、 このA,Bに対する関数x=f(y) の関数自体のの定義域は y≧-.890369478 （ 等号時のx=f(-.890369478)=-2.777161930 ） となります。この定義域に(0＜y≦10)は含まれていますので (0＜y≦10)の範囲で以下のf(y)は定義できていますので (0＜y≦10)の範囲のyに対して以下のf(y)の式がそのまま使えます。 y＞-.890369478でのx=f(y)は二価関数となりますので 1つのyに対して、2つの関数値を持ちます。 x=f(y)＞-2.777161930では x=f(y)=y+(1/0.53)*W(-0.53*0.433*exp(-0.53*y)) x=f(y)＜-2.777161930では x=f(y)=y+(1/0.53)*W(-1,-0.53*0.433*exp(-0.53*y)) となります。 これらのf(y)はtaylor展開ではありませんので 一点y=aでの関数の近似値を与える式ではなく (0＜y≦10)の範囲の任意のyに対してf(y)を与える式になります。 なお、 yに対するLambertW関数を含む計算は数式処理ソフトの Maple10などで瞬時に行えますが、 そうでない場合は yに対して、Newton法でW(u)やW(-1,u)の数値計算をすれば f(y)の式に代入してx=f(y)が計算できます。
その他の回答 (4)
- gef00675
- ベストアンサー率56% (57/100)
ごめんなさい タイプミスがありました。 x = y0 + y1*(y-a) + y2*(y-a)^2/2! + y3*(y-a)^3/3! +… です。
お礼
正直いうと、まだ計算できてないのですが、時間があるときにテイラー展開についても調べてみようかと思います。 回答をいただき、ありがとうございました。
- gef00675
- ベストアンサー率56% (57/100)
ｂ＝１の場合で計算してみました。 （一般のｂの場合は、ｙ→ｂｙ、ｘ→ｂｘ、ａ→ｂａと置き換えれば 得られます） 無限級数での表示は、次のようになります。 x = y0(a) + y1(a)*(y-a) + y2*(y-a)^2/2! + y3*(y-a)^3/3! +… ここで、y0=0, y1=1/(a+1)、y2=-a/(a+1)^3, y3=-a(4-2a)/(a+1)^5,... これを、y＝aのまわりのテイラー展開といいます。 ｙ＝ａの近くでなりたつ近似式の一種です。 電卓などで計算してみると、かなりよくあっていることがわかると思います。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
#1さんの回答の通り、高校の数学までの範囲では X＝f(Y) の形に直すことはできません。 つまり、初等関数を使ってf(Y)を表す事は不可能という事です。 １）無限級数による近似式で表せる方法 ２）大学での数学レベルの範囲の特殊関数（超越関数）である LambertW関数を使ってf(x)を表す方法 があります。 どちらの場合でも AB>=0の場合は f(y)は一価関数となるので yの1つの値に対してx=f(y)の値が一意的に１つ定まります。 しかし AB<0の場合は x=f(y)のyの定義域が存在します。 f(y)は二価関数なので 1つのxに対してf(y)の値が２つ存在しますので一意的に f(y)が決まりません。 yの定義域を２つに分割すれば それぞれの定義域については一価関数化できますので それぞれのyの定義域について x=f(y)を満たすf(x)が一意的にに定まります。 なお、大学数学以上のレベルになりますが LambertW関数を使ってのx=f(y)のf(y)が必要なら 補足質問して頂けば回答いたします。 LambertW関数については参考URLをご覧下さい。 http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/
補足
お返事ありがとうございます。 例なのですが、具体的な数値を言ってしまいますと、 A=0.433、B=-0.53 この場合、AB＜0ということで、f(y)は2つあるということですね。 ちなみに、yの定義域は、(0＜y≦10) です。 可能なら回答をお願いします。 具体的な数値を入れてしまい非常識だとしたらすみません。
- gef00675
- ベストアンサー率56% (57/100)
高校までの数学で、その式をＸ＝（Ａ，Ｂの式）の形に表す のは無理です。 無限級数を使えばできますが、知りたいですか？
お礼
お返事ありがとうございます。 できるなら知りたいです。
関連するQ&A
- 不等式
シュワルツの不等式を学校で扱ったとき、次の不等式が n = 1, 2, 3 のときには成り立つことに偶然気付きました。 n = 2 のときはシュワルツの不等式です。 ―――――――――――――――――――――――――― n を自然数とし、 ai, bi ≧ 0 (1 ≦ i ≦ n) のとき、 (a1^n + b1^n)*(a2^n + b2^n)* ... *(an^n + bn^n) ≧ (a1*a2* ... *an + b1*b2* ... *bn)^n が成立する。 ―――――――――――――――――――――――――― n = i, jのとき成立すれば、n = i*jのときも成立する ことも発見したので、成り立つ気がするのですが…。 そこで、この不等式が成立するか、成立するなら、 どのように証明できるかを教えてください。 ついでに、名前が付いていれば、教えてくれると嬉しいです。 < 追記 > 一応、n = 3のときの証明をしておきます。 (a^3 + x^3)(b^3 + y^3)(c^3 + z^3) - (abc + xyz)^3 = (a^3 b^3 c^3 + a^3 b^3 z^3 + a^3 y^3 c^3 + a^3 y^3 z^3 + x^3 b^3 c^3 + x^3 b^3 z^3 + x^3 y^3 c^3 + x^3 y^3 z^3) - (a^3 b^3 c^3 + 3a^2 b^2 c^2 xyz + 3abcx^2 y^2 z^2) = (a^3 b^3 z^3 + a^3 c^3 y^3 + b^3 c^3 x^3 - 3a^2 b^2 c^2 xyz) + (a^3 y^3 z^3 + b^3 x^3 z^3 + c^3 x^3 y^3 - 3abcx^2 y^2 z^2) ≧ 0 (∵ a, b, c, x, y, z > 0, 相加相乗平均の関係) 等号成立条件は、 １ : abz = acy = bcx ２ : ayz = bxz = cxy １より、 bz = cy, ay = bx ∴ b : c = y : z, a : b = x : y ∴ a : b : c = x : y : z このとき、２も成立する。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の不等式をみたす点の領域
次の不等式をみたす点の領域を図示せよ。 （１）（ｘ＾２＋４＾２－４）（ｘ＋ｙ－１）≧０ （２）（ｘ－ｙ）（ｘ＾＋３ｙ＾２－１２）＞０ （１）の解答 ｛ｘ＾２＋４ｙ＾２≧４ ｘ＋ｙ≧１ （Ａ） ｛ｘ＾２＋４ｙ＾２≦４ ｘ＋ｙ≦１ （Ｂ） 上記を図示して、境界線を含めて、斜線部分を得る。 質問→ この問題よくわかりません＞＿＜ 解答をみると不等式の二つのカッコの中にある式を 抜き出して、 ｘ＾２＋４ｙ＾２－４≦４と≧４の時としてますけど これはどうしてこういう風にしてもいいのですか？＞＿＜ あと、斜線の部分は私の教科書に描いてあるのですけど、どうやったら斜線の部分が書けるのかゼンゼン解りません＞＿＜ 私はこの問題 ｘ＾２＋４ｙ＾２≧４ とｘ＋ｙ≧１（Ａ）の所では まず楕円の式とみて、ｘ＾２/４＋ｙ＾２/１≧１ としてみました。そして横に２、縦に１の楕円を書きました。ただ、不等式の記号 ≧１という部分については どうしたら良いのか解りませんでした＞＿＜ で、この後に、不等式 ｘ＋ｙ≧１の方の式を 直線の式とみてｙ＝－ｘ＋１の直線を上で描いた楕円と同じように描けばいいと思って書きましたけど、不等式の記号がついた意味が解らないのでこれ以上解けませんでした＞＿＜ もう一点解らないのが、教科書の図を見ると楕円と直線との交点の部分に（８/５、－３/５）という のがありました。これは一体なんですか＞＿＜？？ 共有点を単純に求めている？？としても、この問題に なぜ求めてるのか？解りませんでした！！ （２）は（１）が解らないので解けませんでした！ あと、（１）みたいに同じやり方だとしたら （ｘ－ｙ）の部分を単純にｘ≧ｙとすれば良いのでしょうか？（ｘ＾２＋３ｙ＾２＞１２ですか？） 誰かこの問題教えてください！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の問題
正の実数a,b,cについて、 3/2<{(4a+b)/(a+4b)}+{(4b+c)/(b+4c)}+{(4c+a)/(c+4a)}<9 が成り立つことを示せ。 次のように考えましたが、不等式を示せません。 アドバイスをよろしくお願いします。 0<a=<b=<cとしても一般性は失わない。 真ん中の３つの式をそれぞれ分母、分子をbで割ると、 {(4a/b+1)/(a/b+4)}+{(4+c/b)/(1+4c/b)}+{(4c/b+a/b)/(c/b+4a/b)}・・・(1) また、0<a/b=<1=<c/b・・・(2) (1)の(4a/b+1)/(a/b+4)で、a/bをxとおくと、(4x+1)/(x+4)となり、0<x=<1のとき、(4x+1)/(x+4)=<1 次に(1)の)(4+c/b)/(1+4c/b)で、c/bをyとおくと、(y+4)/(4y+1)となり、y>=1のとき、(y+4)/(4y+1)=<1 (1)の(4c/b+a/b)/(c/b+4a/b)で、c/bをzとおくと、(4z+x)(z+4x)となり、z>=1のとき、0<x=<1の値のとき (4z+x)(z+4x)<4となり、(1)<1+1+4=6<9となりましたが、6<9のところがあまりにギャップが大きいので 間違っている気がします。まずは、右の不等式について、アドバイスをおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
例によって、近所の高校生からの質問が発端。先ず、問題を書きます。 実数c (0＜c＜1) と実数：x、y、a、bの間に ｜x-a｜＜c、｜y-b｜＜c という関係があるとき、｜xy-ab｜＜c*(c+｜a｜+｜b｜)を証明せよ。 この問題は、段階式設問になっており、(1)で三角不等式(つまり、｜x+y｜≦｜x｜＋｜y｜)を証明させた後に この設問になっているから、それに乗れば この問題自体は簡単。 しかし、三角不等式が与えてられてなかったら、どのように解くか？ aとbで場合わけをするのは面倒そうだし、という事でなにか良い方法がないだろうか？ 検討をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の不等式の証明
数学の不等式の証明に関する質問です。 (問題) 次の不等式を証明せよ。ただし、文字はすべて実数を表す。 (1)√a^2+b^2+c^2*√x^2+y^2+z^2≧|ax+by+cz| (2)10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2 (1)は式を2乗し、差をとって変形して証明できました。 (2)は(1)の式を利用することまでは分かるのですが、どうやって式を利用して証明すればよいか分かりません。 (1)の2乗した式にa=√2a,b=√3b,c=√5c,x=√2,y=√3,z=√5を代入すると、(2)と等しくなります。 けどこれではちゃんとした解答と言えるのかがわかりません。 証明の切り口を教えていただけないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の移行について
不等式では(x+a)^2みたいな式を移行するとどなりますか。 -√(a+4000^2+1^2<n(a+4000)-b+k<√(a+4000^2+1^2を移行させて～<k<～の形にしたいです。 すなわちn(a+4000)-bを移行させたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
教えて頂いた数式で結果を見たところ、うまくいきました。 自分でももう少し勉強しようと思います。 ありがとうございました。