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指数が含まれる第5次導関数の問題の解き方

以下の問題を自分で解答してみましたが、 ぜんぜん自信がありません。 わかる方、いらっしゃいましたらご指導お願いします。 【問題】 関数f(x)=xe^(5x)の第5次(階)導関数f^(5)(x)を求めよ。 【解答】 1次導関数:5e^(4x) 2次導関数:5e^(3x) 3次導関数:5e^(2x) 4次導関数:5e^(1x) 5次導関数:5e^(0)=5・1 よって、f^(5)(x)=5 以上、よろしくお願いします。

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e^(ax)の微分→ae^(ax) f(x)g(x)の微分→f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (f(x)の微分はf'(x)と表記する) 一次導関数:e^(5x)+5xe^(5x); 二次導関数:5(2+5x)e^(5x) ・・・ 五次導関数:3125(1+x)e^(5x) 計算あってるかな。

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質問者からのお礼

丁寧な解説、ありがとうございました。 おかげで、間違いがわかり、すっきりしました。 大変お世話になりました。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • 25no12
  • ベストアンサー率53% (35/66)

#2さん、 同じ答えになりました。合ってそうですね。

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質問者からのお礼

検算、ありがとうございました。 先の問題の補足もありがとうございました。

  • 回答No.3
  • 25no12
  • ベストアンサー率53% (35/66)

これは残念ながら間違ってます。 f(x)の微分(導関数)をdf(x)とあらわすことにして、 f(x)g(x)の微分は、df(x)*g(x)+f(x)*dg(x) です それと、 e^kxの微分は ke^kxです。 以上を理解すると、 xe^5xの微分は、何回微分しても (ax+b)e^5xの形になることが分かります。 a,bをkの数列とみて、数列を解く問題になります。 (もちろん、たかだか5回なので、地道に微分してもいいです) 計算間違いとかしそうなので、後はご自分でどうぞ。

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  • 回答No.1
  • 25no12
  • ベストアンサー率53% (35/66)

ごめんなさい、一つ下の質問「極限について」ですが、 (1)は「lim=∞だから発散」では、不可かもしれません。 いかなるNに対しても、2^k>Nとなるkが存在することを背理法などで証明すればOKです。 例えば、非常にラフですが、nが自然数として、 2^(n+1)-2^n=2^n>1ですから 2^n-2^(n-1)>1 . . 2^2-2^1>1 この不等式を全部足して、2^(n+1)-2^1>n 2^(n+1)>n+2 2^n>n+1 よって、いかなるNに対してもk=Nとすれば、 2^N>N+1>N これから 2^nは発散する(上限が存在しない) スマートでないかもしれませんが。

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質問者からのお礼

わざわざ、追加のアドバイスありがとうございます。 そのように証明すればいいのですね。 ありがとうございました。

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