関数の問題

質問

『関数f(x)について、任意の実数x, yに対してf(x+y)=f(x)f(y)、f(3)=8が成り立つとき、f(1)=2を示せ。ただしf(x)は実数である。』

という問題ですが、模範解答は

f(3)=f(1)f(2)=f(1)f(1)f(1)=8
よってf(1)=2

という感じで解いています。

私はそれが思いつかず、

f(3)=f(3/2)f(3/2)=8 <=> f(3/2)=8^(1/2)
f(3/2)=f(3/4)f(3/4)=8^(1/2) <=> f(3/4)=8^(1/4)
以下同様なので、自然数nについて
f(3/2n)=8^(1/2n)　が成り立つ。

と考えたのですがこれではf(3/3)が表せず、行き詰まってしまいました。

このアイデアでは解けないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

178-tall

手がかりは、

　f(0) = = f(0 + 0) = { f(0) }^2 から、
　　f(0) = 1

　f(0) = f(3 - 3) = f(3)f(-3) = 8*f(-3) から、
　　f(-3) = f(0)/8 = 1/8

ぐらいなのかナ？

>f(3)=f(3/2)f(3/2)=8 <=> f(3/2)=8^(1/2)

　　　　↓　このスタート点からだと、

　f(1) = f{ (3/2) - (1/2) } = うんぬん
とでもしないと、収まりがつかなぬのでは？

お礼

＞f(1) = f{ (3/2) - (1/2) } = うんぬん

僕の学力では泥沼にはまっていきそうです(笑)
模範解答を理解して類題も解けるようにしたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

f(x+y)＝ f(x)f(y)より f(x+y+z)＝ f(x)f(y)f(z)が言えれば、
f(3/3)を使えるのでは？
結局、模範解答の言い換えにしかならないですが。

お礼

やっぱり模範解答の解法がすっきりしていて、これを思いつくべきでした。
ありがとうございました。