２階導関数

質問

f(x)=x^(１-ε)/(１-ε)，(ただしε>０）
の２階導関数ｆ’’(x)
はεが小さいほど、大きいといえるのはなぜですか？
εがほとんど０に近いとき、２階導関数はゼロに近くなるからなんとなく分かりますが…。
どなたか解答の程よろしくお願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

f(x)＝x^(1－ε)/(1－ε)
f"(x)＝－ε/x^(1＋ε) (1)
ここでx(≡A≧0)を定数、εを変数と考えて次ぎの関数を考えます。
φ(ε)＝－ε/A^(1＋ε) (2)
(2)式の両辺をεで微分すると
dφ/dε＝{A^(ε+1)(εlogA－1)}/A^2(ε＋1) (3)
となります。これからφ(ε)は単純な単調関数ではなく、極値を持つ関数ということが分かりますね。つまり
ε＝1/logA・・・φ(ε)は極値を取る
ε＞1/logA・・・φ(ε)は単調増加
０＜ε＜1/logA・・・φ(ε)は単調減少
したがって、０＜ε＜1/logAの領域でε→＋０に向かえば向かうほどf(x)は逆に大きな値を取ることになります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

papi-pu

No.1です。
すみません、間違えてました。
勝手にε≒0と解釈してました。

KENZOUさんの回答であってます。

回答No.1

papi-pu

2階導関数を導くと、
f''(x)=-ε*x^(-1-ε)
となります。

xを定数と考えると、εが増えると導関数のεは単調増加、x^(-1-ε)も単調増加になります。従って、ε*x^(-1-ε)は単調増加になります。これに符号がついているので、導関数としては単調減少になります。つまり、εが0に近づいて、小さくなるほど導関数は大きくなります。ただし、xが負のときはx^(-1-ε)が虚数になってしますので、x≧0としています。

εを横軸にf''(x)を縦軸にグラフを書いてみれば一目瞭然です。

ちゃんと証明したいときは、2階導関数をεで偏微分して見てください。

補足

>xを定数と考えると、εが増えると導関数のεは単調増加、x^(-1-ε)も単調増加になります。

xが１より大きいか小さいかによって、x^(-1-ε)は単調増加にも単調減少にもなると思うのですが…。

２階導関数もlogxがすべての実数値をとるので確定できないような気がしていますがどうでしょうか？