２階導関数

質問

２階導関数をもつ関数F(x)のグラフＣがＣ上の１つの点Ｐ（a,b）に関して対称ならば、F''(c)=0となることの証明を教えて下さい。
ヒント（？）Ｃ上の他の２点Ｑ(a-x,F(a-x))、Ｒ（a+x,F(a+x)）についてF(a-x)+F(a+x)=2F(a)が成り立つことをしめし、ここから２階導関数を求める。

回答No.2

noname#21330

まず、点対称ですので、
F(a-x)-F(a)=F(a)-F(a+x)
移行して、
F(a-x)+F(a+x)=2F(a)---(1)
(1)をxで微分すると、
F'(a+x)-F'(a-x)=0---(2)
２次導関数は、
F''(a)=(F'(a+x)-F'(a-x))/2x x -> 0
(2)より
F''(a)=0

回答No.1

take_5

Ｐ（a,F(a)）が、２点Ｑ(a-x,F(a-x))、Ｒ（a+x,F(a+x)）の中点であるから　F(a-x)+F(a+x)=2F(a)が成立する。
F(a-x)+F(a+x)=2F(a)をxについて2階微分して、x＝0と置く。