二次関数

質問

問、ｘの２次関数ｆ(ｘ)＝3ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ　が、任意の角θ(０°≦θ＜３６０°)に対して
ｆ(2sinθ)≧0、ｆ(3－cosθ)≦0　を満たす。
この時、2b＋ｃ＝＿であり、ｂのとり得る最大の値は＿。
下線部を二つを求めよ。

解答　2sinθ＝Pとおくと、－2≦P≦2において　
常に3P^2＋ｂP＋ｃ≧0・・(1)　　
　　　3－cosθ＝Qとおくと、2≦Q≦4において
常に3Q^2＋ｂQ＋ｃ≦0・・(2)
(1)、(2)でP＝Q＝２として　3・2^2＋ｂ・2＋ｃ＝０
ゆえに、2b＋ｃ＝－12・・(3)　　
また(2)でQ＝4として　　　3・4^2＋ｂ・4＋ｃ≦0　ゆえに、b≦－18
またｂ＝－18とすると、(3)から　ｃ＝24
よってf(ｘ)＝3x^2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)
この時　－2≦x≦2⇒f(x)≧0
　　　　　2≦x≦4⇒f(x)≦0　を満たす
したがってｂのとり得る最大の値は　ｂ＝－18　終

どうしてQに4を代入するのか、考え方を教えてください

回答No.4

take_5 · ベストアンサー

＞制約条件の意味がわからないのです、大学で学ばないとわからないのでしょうか？

こんなのは高校数学の範囲、大学ではこんなことはやらない。それと、模範解答が少々不親切に思うので詳しく書こう。

2sinθ＝mとすると、｜m｜≦2　‥‥(1)
ｆ(m)＝3m＾2＋bm＋c＝3（m+b/6）＾2＋c-b＾2/12≧0　‥‥(2)であるから、(1)の範囲で(2)の最小値≧0であれば良い。
（1）　-b/6≧2の時、ｆ(-2)＝12-2b+c≧0　‥‥(3)
（2）　｜-b/6｜≦2、ｆ(-b/6)＝-b＾2+12c≧0　‥‥(4)
（3）　-b/6≦-2の時、ｆ(2)＝12+2b+c≧0　‥‥(5)

3－cosθ＝nとするとき、2≦n≦4　‥‥(6)
g（n）=3（n+b/6）＾2＋c-b＾2/12≦0　‥‥(7)　つまり、(6)の範囲で(7)の最大値≦0である条件を求めると良い。
（4）　-b/6≧3の時、g(2)＝12+2b+c≦0　‥‥(8)
（5）　-b/6≦3の時、g(4)＝12+4b+c≦0　‥‥(9)

(5)と(8)より12+2b+c＝0　つまり、c＝-12-2bであるから、
（1）はb≦-12の時、ｆ(-2)＝12-2b+c＝-4b≧0 。∴b≦-12　‥‥(10)
（2）は｜b｜≦12の時は、ｆ(-b/6)＝-b＾2+12c＝-b＾2-24b-144＝-（b+12）＾2≦0で不適。
（3）はb≧12の時、ｆ(2)＝12+2b+c＝0　常に成立。
（4）はb≦-18の時、g(2)＝12+2b+c＝0　常に成立。
（5）はb≧-18の時、g(4)＝48+4b+c＝2b＋36≦0　∴-18＝b

以上より、　ｂ≦－18　。

補足

ｆ(-2)＝12-2b+c≧0とｆ(2)＝12+2b+c≧0が逆でしたがよくわかりました。最後のところは
b≦-12かつb≦-18、またはb≦-12かつ-18＝b
よって　ｂ≦－18　
ということですね。
それと任意の角θに対してとありますが
ｆ(2sinθ)≧0、ｆ(3－cosθ)≦0それぞれ任意と見ていいのですね。

回答No.5

take_5

＞それと任意の角θに対してとありますが　ｆ(2sinθ)≧0、ｆ(3－cosθ)≦0それぞれ任意と見ていいのですね。

違う。
“任意の角θ(0°≦θ＜360°）”という条件から、私が置き換えた、mとnが　｜m｜≦2と2≦n≦4を満たす範囲で任意の実数値を取るという意味であって、その限りでｆ(m)とg（n）がｆ(m)≧0、g（n）≦0である条件を求めるという事。

お礼

お礼遅くなりました。丁寧にありがとうございました。

回答No.3

noname#71645

グラフの図形全体を考えてみると、
-2≦x≦2でf(x)≧0
2≦x≦4でf(x)≦0
となるようなグラフはどんなのかと言えば、ｘがマイナスの大きな数でｆはプラス、ｆは段々と減少していって、ｘ＝２でｆ＝０、ｘ＞２でｆはマイナス、どこかに頂点があって、再び増加する。図に書いて確かめて下さい。

図で考えると、ｘ＝４でｆ＜０であれば他のｘ＝３とか３．５とかの時も含めて全部の2≦x≦4に対してf(x)≦0を満たすと分かります。

だからf(4)≦0を使って計算しているのです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

lotdid

No1です。
回答が的外れでした。。。

(3)で　2b+c=-12　が求まりました。変形すると
⇔c=-12-2b・・・(4)

3Q^2+bQ+c に(4)を代入すると
3Q^2+bQ-2b≦12
です。
bについてまとめたとき、
b(Q-2)+3Q^2-12≦0・・・(5)
2≦Q≦4 より　0≦Q-2≦2
(5)よりQ=4のときのbの制約条件が
一番厳しい。

ということだと思います。

お礼

ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。
制約条件の意味がわからないのです、大学で学ばないとわからないのでしょうか？
－2から4まで具体的に(1)、(2)に代入するとb≦－18が出てきて
軸x＝－ｂ/6で、－ｂ/6≧３⇔ｂ≦－18
となるのですが？？？

回答No.1

lotdid

-1≦cosθ≦1
ですから、

3-cosθ　の最大値は、
3-（-1）＝4
だからです。