平均値について

質問

平均値について教えて下さい。
全部で100kmの走行のうち、30kmが15km/lの燃費、残りの70kmが10km/lの燃費とします。
この時、全区間（100km）の平均燃費についてですが・・・。

距離をそれぞれの燃費の比重と考えると、
(1)（（15km/lｘ30km）＋（10km/lｘ70km)）÷100km＝11.5km/lになります。

しかし、実際に使った燃料で考えると、
(2)100km÷（30km÷15km/l＋70km÷10km/l）=11.1km/lとなります。

(1)と(2)の結果は一緒になるかと思っていたのですが、この差はなぜ発生してしまうか分かりますか？

回答No.7

htms42

＃３です。
＞ただし、直感的には一般的な燃費（km/l）でも、全体の距離に対する各区間の比率をそれぞれの燃費で掛ければ、全体の平均が出そうな気がするのですが・・・。

距離の比率で重みをつければ平均を求めることが出来るというのがどうして成り立ちますか。

分かりやすいように平均点で考えます。
４０人の生徒の得点が
ａ１、ａ２、ａ３、，・・・、ａ４０
だとします。「平均」ですから「平に」「均して」考えるのです。「得点の多い人の点を得点の少ない人に回して全員が同じ得点であるようにして考えるといくらに相当するでしょうか」という発想ですね。そのときには総得点を変えないようにして考えるという前提が入ってきています。そのように考えた時の平均点を求める方法が総得点を人数で割るという操作です。これが基本です。
ところが得点が５点と１０点の２つしかなかったとします。
総得点を求める方法が２つあります。
（１）全員の得点を足す
（２）５点の人の数ｎ１と１０点の人の数ｎ２を数えて
５×ｎ１＋１０×ｎ２で求める

（１）の場合も（２）の場合も「平均値＝総得点／４０」です。
ところが（２）の場合、
平均値＝５×（ｎ１／４０）＋１０×（ｎ２／４０）
になります。ｎ１／４０、ｎ２／４０は全体に対する人数の比率です。
この式を形式的に理解して比率で足し合わせたら平均が求められると考えるとおかしくなります。
この場合でいうと４０人という人についてその得点を足し合わせるという操作で求められる平均値を出そうとしています。したがってこの比率は人数で考えた時の重複率です。人について足していくので重複率は人数で表されます。
和をとる量についての重複率が比率になるのです。

燃費にもどります。
全体１００ｋｍのうち３０ｋｍと７０ｋｍとの２つの区間のそれぞれでで燃料消費率が同じであったということです。
３０ｋｍ、７０ｋｍを重複として考えることの出来るのは１ｋｍごとの量を足し合わせていく時です。したがって燃費はＬ／ｋｍで表されるものでないといけません。
１ｋｍごとの燃料消費量を全部足して１００ｋｍで割るということで燃費を出す時に３０ｋｍ区間と７０ｋｍ区間で重複があるのです。
（３０ｋｍ×（１／１５）Ｌ／ｋｍ＋７０ｋｍ×（１／１０）Ｋ／ｋｍ）１００ｋｍ
です。

もし１５ｋｍ／Ｌ、１０ｋｍ／Ｌを使うのであれば１Ｌごとの可能走行距離が異なるので全工程で平均するといくらになるかということですから最初の１Ｌで進んだ距離、次の１Ｌで進んだ距離、・・・というように総燃料消費量に対する総走行距離を出して平均値をとる事になります。重複は最初の１Ｌと次の１Ｌが進んだ距離が同じであったという場合に起こります。

重複はどういう量について和を取っているかによって変わります。
全体に対する比率というのは和を取っている量についての重複なんです。

＃５で平均速度が例に出されています。
平均の速さ（平均速度）についても同じような混乱があります。
速さは距離／時間です。
時間が変化しても同じ速さであればいいのですが変化している場合があります。そのときは平均の速さしか分かりません。
平均の速さ＝全移動距離／その移動に要した時間
です。ある短い時間を単位時間と考えて各単位時間ごとの速さが与えられているとします。この速さから各単位時間ごとの移動距離を出して足し合わせていくと全移動距離が出てきます。重複があれば比率で表すことが出来ます。この重複は「時間についてのもの」であるはずです。重複が距離で与えられているからと言って距離の比率をそのまま使ってもいいということではないのです。
ある区間を行きは１０ｍ/ｓ、帰りを６ｍ／ｓで走った。平均の速さはいくらかという問に対して「８ｍ／ｓではなぜいけないのか」という質問をよく見ます。時間についての重複に変換して平均を出さないといけないのに距離の比率をそのまま使っているからおかしくなるのです。

お礼

かなり詳しく説明して頂きありがとうございます。
つまり燃費で考えた場合、15km/lは当然1Lあたりに進む距離ということなので、15km/lで走行する割合が30/15＝2、10km/hで走行する割合が70/10=7となり、平均値は
（2*15km/h＋7*10km/h）/（2+7）＝100/9＝11.1km/h
となりますね。

この式は見方を変えれば、各区間の燃料を出して、その合計で全区間を割るということと同じになっていますが・・・。