3次方程式の3つの解の差積と判別式の証明について
- 3次方程式の3つの解の差積の証明方法について教科書で説明されていますが、理解できません。
- 証明の手順として、まずx1,x2,x3を3次方程式t^3+at^2+bt+c=0の3つの解として定義します。
- 次に、差積をΔ=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)と定義し、x1が実根でx3をx2と共役な複素数とすることが前提です。
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3次方程式の3つの解の差積
教科書に3次方程式の3つの解の差積の2乗が判別式になるということの証明が書いているのですが、その証明がよくわかりません。 「x1,x2,x3を3次方程式t^3+at^2+bt+c=0の3つの解とし、 差積をΔ=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)定義する。 x1が実根でx3をx2と共役な複素数とすると、 Δ=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)=-|x1-x2|^2(2iImx2) ただし、Imx2はx2の虚部を表す。」 この説明の後にΔを2乗して判別式として正しいことを示すのですが、なぜ(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)=-|x1-x2|^2(2iImx2)が成り立つのかがわかりません。 計算すると、2di{-(x1-x2)^2-2di(x1-x2)}になり、どうしても教科書の式に結び付かない気がするのですが・・・。 分かる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。
- akisute3
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α = a + bi、αの共役な複素数をβ = a - biと置くと、 |α|^2 = αβ が成り立ちます(|β|^2 = αβも成り立ちます)。 (x1 - x2)(x2 - x3)(x3 - x1)において、x2 = c + di、x3 = c - diと置くと (x2 - x3) = 2di = 2iImx2 …… (1) (x1 - x2)(x3 - x1) = -(x1 - x2)(x1 - x3) = -{x1 - (c + di)}{x1 - (c - di)} = -{(x1 - c) - di}{(x1 - c) + di} 式の形を見れば、{(x1 - c) - di}と{(x1 - c) + di}は共役な複素数です。 つまり(x1 - x2)と(x1 - x3)はお互いに共役な複素数だということが分かります。 よって最初に書いた|α|^2 = αβという性質を利用すると -{(x1 - c) - di}{(x1 - c) + di} = -(x1 - x2)(x1 - x3) ((x1 - x2)がα、(x1 - x3)がβに相当します) = -|x1 - x2|^2 …… (2) となります。 (1)(2)より、 (x1 - x2)(x2 - x3)(x3 - x1) = -( |x1 - x2|^2 )( 2iImx2 ) となります。
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お礼
わかりやすい説明をありがとうございました。おかげで証明が理解できました。