集合と論証

質問

実数ｃに関する条件　(A) ｜c｜≦2 を考える。
以下の(1)から(6)のcに関する条件がそれぞれ上の条件(A)が成り立つための
　(a)必要条件であるが、十分条件ではない。
　(b)十分条件であるが、必要条件ではない。
　(c)必要十分条件である。
　(d)必要条件でも十分条件でもない。
　のいずれであるか。
　(1) C≦2
(2) C^2-2≦0
　(3)すべての実数xに対してx^4-c≧0
(4)ある実数xがあり　(x-1)^2+c^2≦4となる
　(5)x<1ならばcx<2
(6)xの2次方程式　X^2+cx+1=0は実数解をもたない。

（^2は2乗のつもりで書いています。）

上記の問題がよく理解できません。
教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

fef · ベストアンサー

ANo.1に補足です．

(4)について説明します．

まず，条件(4)が満たされるとき自動的に条件(A)が満たされるかを考えてみましょう．
(4)が満たされていれば，ある実数 x に対して
　c^2 <= 4 - (x - 1)^2
が成り立つので，少なくとも
　c^2 <= 4
は成り立ちますね．
よって，
　|c| <= 2
のはずですから，(A)は満たされます．
つまり，(4)が満たされていれば(A)が満たされるためには「十分」なのです．

次に，条件(4)が満たされていないとき条件(A)の満たされる可能性があるか考えます．
(4)が満たされていなければ，すべての実数 x に対して
　c^2 > 4 - (x - 1)^2
が成り立つので，x = 1 の場合を考えて，
　c^2 > 4
です．
よって，
　|c| > 2
となって，(A)は満たされ得ません．
つまり，(4)が満たされていることが(A)が満たされるためには「必要」なのです．

以上から，条件(4)が満たされることは条件(A)が満たされるために必要十分であるとわかりますね．

条件(5)に関しても同様に考えてください．
ただ，文章のまま考えるのは少し難しいので，グラフを描くとよいでしょう．
直線 y = c x が x < 1 の範囲では直線 y = 2 より下にある，と条件は述べているのです．
このとき c は直線の傾きを表していますね．
したがって，条件を満たすような直線の傾きはどのようになっているかを調べましょう．

ちなみに答えは
　(b) 十分条件であるが，必要条件ではない
のはずです．

お礼

すぐに回答を頂いて感謝しています。ありがとうございました。

回答No.1

fef

いま，条件(1) c <= 2 が満たされていたとします．
このとき，条件(A) |c| <= 2 は自動的に満たされるでしょうか．
条件(1)を満たすものとして c = -3 なども可能ですよね．
そして，c = -3 であれば |c| = 3 (> 2) ですから，これは条件(A)を満たしません．
つまり，(1)を満たしているものの中には(A)を満たしていないものもあり，
(1)を満たしているからといって(A)を満たしているとは限らないわけです．
言い換えれば，(1)を満たしていることは，
(A)が満たされるための条件として「不十分」ということです．
(A)が満たされるためには条件が足りないわけです．

一方，条件(1)が満たされていないとき，条件(A)は満たされうるでしょうか．
(1)が満たされていないということは c > 2 ということですね．
そうすると，どう頑張っても(A)は満たされえませんね．
したがって，(A)が満たされるためには，
(1)の満たされていることが「必要」なのです．

以上から，条件(1)は条件(A)が満たされるための必要条件であるが，
十分条件ではないということになります．

条件1が満たされていることは条件2が満たされているために必要か・十分か，
などと問われたら，上のように，
・条件1が満たされていれば条件2が自動的に満たされるか（十分性）
ということと
・条件1が満たされていなくとも条件2が満たされうるか（必要性）
ということとを確認すればよいのです．

ついでに(2)も説明しておきましょう．

条件(2)が満たされていれば，|c| <= sqrt(2) ですね．
このとき，自動的に条件(A)は満たされます．
つまり，(2)が満たされていれば「十分に」(A)が満たされるのです．

しかし，条件(2)が満たされていない c = 2 の場合でも，条件(A)は満たされえます．
(2)が満たされることは(A)が満たされるために「不必要」なのです．

以上から，条件(2)は条件(A)が満たされるための十分条件であるが，
必要条件ではないということになります．

お礼

回答ありがとうございます。(4)と(5)の解答のヒントをいただけないでしょうか。