０の０乗は１、にしたい

質問

０の０乗の値について、過去に色々な質問がありますが、結論としては不定というのが多いみたいです。
でも、素朴な疑問として、１として問題があるのかな、と思いました。

そこで、べき乗の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎ≧１）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

回答No.22

R_Earl · ベストアンサー

ANo.14です。

> そして、この式は以前の式より、より０＾０に近づいており、より１に近づいています。
>
> つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。

その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。

f(x) =
1 (x ≠ 3)
-1 (x = 3)

とすれば、x → 3 ± 0の時、f(x) → 1ですが、f(3) = -1です。

私が0^0 = 1としたくないのは、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフがきれいでなくなるからです
(とはいっても、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフは横直線なので、あまり面白い形ではありません。
本当はもっと良い関数を例としてあげたかったんですが)。
たった、それだけの理由です。

情報理論の「エントロピー」と呼ばれるものの話では0^0 = 1を用います。
エントロピー関数H(x) = -xlogx - (1-x)log(1-x)　(0 ≦ x ≦ 1)
のグラフは、0^0 = 1を採用すると綺麗になります
(x = 0, 1の時、0log0が出てきます。この0log0を変形すると、log(0^0)となります)。
x → 0の時のxlogxの極限値は0ですし、x → 1の時の(1-x)log(1-x)の極限値も0です。
なので0log0 = log(0^0) = 0（結局、0^0 = 1）を採用するとグラフが0 ≦ x ≦ 1の範囲で連続となり、綺麗なグラフになります。
また「エントロピー」という言葉の意味からも、そうした方が都合が良いです。

しかし、0^0 = 1が他の話で都合よく働くとは限りません。
すでに0^0の極限値が5となるような関数の例を紹介しましたが、
そのような関数を採用した何かを考える時は0^0 = 5を採用した方が自然だと思います。
なので私自身は、0^0 = 1と固定したくないだけです。
「不連続は不自然だから嫌」というだけの理由です。

> この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

色々考えてみましたが、今のところ矛盾点は見つかりません。

お礼

なるほど。おっしゃりたいことがよく分かりました。
なかなか深い意味があったのですね。

でもご安心ください。そのグラフはｘ＝０では定義されていませんから、（ｘ＝０、ｙ＝１）という点は存在しません。
よって、横直線であることに変わりはありません。
（屁理屈かもしれませんが…）
この場合でも、０＾０＝５を採用する必要はないのです。

もしこれが、ｘ＝０でも式が定義されていて、そのグラフが０＾０＝１では不自然になるという例が存在したならば、その時は、今回の定義を取り下げさせていただきます。

＞その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。

いいえ。極限値に実際の値と同じものがある、という条件は外せません。そうでなければ、１が自然な値とは言えませんので。

エントロピー関数の例も、興味深く拝見しました。

ありがとうございました。

回答No.18

Tacosan

おかしいなぁ....
(5^(-1/(x^2)))^(-x^2)
よりも
(5^(-1/(x^2)))^(-x^2/2)
の方が「より０＾０に近づいており」と主張するなら, それとまさに同じ議論によって
(5^(-1/(x^3)))^(-x^3)
の方が「より０＾０に近づいており」と言えるはずです. もちろんここの「3乗」というのは「2乗より大きい」ということにしか意味がないので, 気にいらなければ
(5^(-1/(x^4)))^(-x^4)
としてもらってかまいません.
これがおかしいというのであれば, あなたが
(5^(-1/(x^2)))^(-x^2)
よりも
(5^(-1/(x^2)))^(-x^2/2)
の方が「より０＾０に近づいており」とした根拠を示してください. まさか, こちらの極限値の方が 1に近いから, という理由ではないですよね?

お礼

上記の議論をするなら、３乗を持ち出すよりも、
(5^(-2/(x^2)))^(-x^2)
の方が、余計なものが出なくて簡単ですよ。この場合、極限値は２５です。
したがって、０＾０に近づいても極限値が元の式より１から遠くなるような式の変形も、簡単にできます。

私の意図はそうではなくて、ある与えられた式よりも０＾０に近づいて、かつ、極限値は１に近い式が必ず存在するということです。
だからといって極限値が１になる証明かというと、それはそう言えない。
言えることは、０＾０＝１と決めた場合にそれと極限値が矛盾しないということです。
極限値が５のままで０＾０に近づく方法があったとしても、近づき方は無数にあり、かつ、どんな式が与えられても、それより極限値が１に近い近づき方が存在すると示すことができたのですから。

＞根拠を示してください

よく考えてみればそうですね。同じ手法でした。
勘違いです。大変すみませんでした。

回答ありがとうございました。

回答No.17

Ishiwara

＃６,８です。
さきに「どちらに決めても数学の体系は構築できる」という意見とともに感想を述べました。
ネットで見つけたページをご紹介します。
要点は「１とする立場もある」ということで、学問の世界でも、肯定派と否定派があるようです。つまり、質問者さんの問題提起に賛成する専門家もいる、ということです。私のようなシロウトは、まずその主張をじっくり読んでみることから始めたいと思います。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power

お礼

紹介してもらったページ見ました。（英語できないのでOCN翻訳で）

日本のページとニュアンスがだいぶ違いますね。

たとえば：
いくつかの教科書が量0^0を不確定に放置しています。なぜなら、xが0に減少する時には、機能x^0と0^xは、種々の制限価値を持っているからです。 しかし、これは誤りです。 すべてのx 二項式の原理が有効で 時 x = 0、y = 0および／またはx = -y 必要があるならば （すべてのxのための）x^0=1を定義しなければなりません。 原理は重要すぎるので、恣意的に限定できません！ 対比によって、機能0^xはまったく非重要です。

１＝ｘ＾ｎ／ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－ｎ）＝ｘ＾０

それに０＾０＝０という記述はまったく見られませんでした。

これだけの記述があれば、私の質問は必要なかったですね。
０＾０の定義をあくまでも便宜的なもの、とするのとは大違いです。

貴重な情報、ありがとうございました。

回答No.16

Tacosan

(5^(-1/(x^2)))^(-x^2/2) よりも
(5^(-1/(x^3)))^(-x^3) の方が「より 0^0 に近づいている」と言えるな.
もちろん後者のx→+0 の極限は 5 なんだが.

お礼

言えません。
別々の式のｘ＾２とｘ＾３の大きさを比べるのはナンセンスです。
それはただ単に同じ文字を使っているだけで、片方がｙになろうとｔになろうと関係ないことだからです。

No.14の回答は、＋０と－０の両方で成り立つことを言いたくて、わざわざ２乗の変数を使ったと考えています。

No.14のお礼で私が示したのは、「０＾０＝１」の必要条件が否定されてはいない、ということです。
任意の数に極限値を決めることができる、とされてしまえば、特定の値である１という数値に決めることは不可能になりますから、それを私は否定したんです。
十分条件は示せていないので、私の主張はほぼ根拠がないと言えるのですが…

でも、No.12で、
＞指数法則を根本原理とすれば…
＞0^0=1または0^0=0なんだけども，
と記述されており、0^0=0 には私がいちゃもん付けているので、
今の所は、これが唯一の根拠らしきものですね。

ありがとうございました。

回答No.15

kabaokaba

あー，この一連の挑発の根源がわかったような気がする
つまり「不定」って言葉を理解してないんだなあ．

不定：一個に決まらないから「何でもいいや，べっつにぃ」
というのが普通の立場なのに，挑発主は
「0^0=1」を否定して欲しいんだな．
「どんな値にしたっていい」のに
「1だけ否定」することはできないでしょ．堂々巡りだ．
どんな式を立てても，ちょろっと変えれば
0^0=1にすることはできるし，
実際は任意の値にできるんだし．

>私の主張は「０＾０＝１」だけですので、それ以外の
>「特定の範囲で定義がうまくいかない」のは、どうでもいいんです。
数学での「拡張」ってのは
今までにものと整合をとって，うまく広げることをいうのだから
0^0単独で周りを無視することは，意味がまったくないというか
指数の形で書くことに意味はない．
そもそも挑発主の「帰納的定義」とやらだって
周り（特定の範囲）を「どうでもいい」とはしていないぞ．
自分の定義の妥当性の主張には「周りの状態」を使っておいて
これでは話にはならん．
0^0=1だけを主張して，周りの状態に一切言及せずに
0^0=1の妥当性を表現してくれ．

＃まあ，いいや．Weiestrassの定理とか真性特異点の議論を
＃久しぶりにひっくり返したので頭の体操にはなった(笑)
＃あとはご自由に．結局
＃挑発主が自分で理解できないといつまでも終わらないでしょうな

お礼

＞「0^0=1」を否定して欲しいんだな．
＞「どんな値にしたっていい」のに
＞「1だけ否定」することはできないでしょ．堂々巡りだ．

誤解しています。１以外に有り得ないという主張です。
たとえば、０でも矛盾が無いと説明していただければ、議論は終りです。
そして、0^0=1を主張する今回の定義が、今の一般的な定義と矛盾するものであれば、議論は終りです。
ただ、その証明は、実力があまりにも不足しているため、できていない。そこを回答者に補って欲しいだけです。

＞私の主張は「０＾０＝１」だけですので、それ以外の
＞「特定の範囲で定義がうまくいかない」のは、どうでもいいんです。

誤解しているようですので、再度説明を試みます。
「特定の範囲で定義がうまくいかない」という従来からある問題点があったとして、それだけで「０＾０＝１」を否定したことにはなりません。
私の主張は０＾０が不定ではなく１という固有の数値になることです。
「０＾０＝１」を定義することで、新たな矛盾が生じるならば、「０＾０＝１」が誤りだったことは認めます。

このルールで、了承してもらえますか？

ありがとうございました。

回答No.14

R_Earl

x→±0の時、(5^(-1/(x^2)))^(-x^2)は0^0の不定形ですが、これの極限値は5です。

これが、「私が」0^0を1と認めるとまずいと思う理由です。
似た方法で極限値を2にも3にもできます。

お礼

頭がすっかりさび付いているようで、ずいぶん悩みました。
確かに、この式の極限値は５です。
でも、この式の０＾０への近づき方は、十分ではないのです。

式を変形してみます。（指数部を半分にします）
(5^(-1/(x^2)))^(-x^2/2)
この式も、ある極限値があり、その値はルート５です。
そして、この式は以前の式より、より０＾０に近づいており、より１に近づいています。

つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。

ありがとうございました。

回答No.13

Tacosan

えぇと....
もう昔のことなのでほぼ完全に忘却の彼方なんですが, なんかの状況で 0^0 を 1 としてしまってはまずい (0 にしなきゃいけない) 場面があったような気がします.
どんな場面だったか, 全く思い出せないんですが....
べき級数を扱うときには 0^0 = 1 としないと不味いですが, これは x^0 をシンボリックに 1 だと思えば回避可能.

お礼

そうですね。０＾０＝１がまずい場面が示されれば、この議論は簡単に片が付くんですけどね。

まだしばらく締め切りませんので、思い出したら回答してください。

ありがとうございました。

回答No.12

kabaokaba

ここまでいくと
わざと挑発してるみたいですなあ
まあ，こういうときは，
何を書いても無駄だというのが世の常なんだけどねえ．
＃といいつつ書く（笑）

No.7さんが正論なのは私も同意で，
おそらくNo.7さん，No.10さんの
ご意見で終わりだと思うんですけどねえ

さてさて・・・・
>まともな二重極限の議論が行われているならまだしも、x>0,y>0の範囲でしか説明されていないのに、それに納得しろというのですか？

はてー・・・帰納的な定義で自然数に対してしかベキを
定義してない方がこれをいうのはどうしてでしょう？
＃nは自然数とは質問ではかかれてないけど自然数ですよね

「すべてで丸く収まるように定義できるわけではないよ」というのを
主張するために「特定の範囲で定義がうまくいかない」ことを
提示するのはごくごく当たり前です．
＃「任意のxに対してP(x)ではない」の否定は
＃「あるxに対してP(x)ではない」

実際問題，ほんと「したければご自由にどうぞ」なんですわ．
どうしてかっていうと，「普通の数学」では
0/0とかと同じように0^0が出てこないように，
いろいろ避けてる面がありますんで，
0^0を1にしようが0にしようが，あんまり関係ないんですわ．
そもそも「不定」として扱ってるんで
「不定」ってのは「何でもいいよ」みたいな意味だしね．

0/0が問題になるので，負ベキは考えないことにしようよ．
＃もし，負ベキも含めて0の累乗がきちんと定義できるなら
＃0以上のベキだけでもきちんと定義できるはずでしょう？
それでなんで不定かって・・・
x^0 = 1
x^n = x{n-1} x (n>=1)
ってことで0^0=1が妥当だという話をしてますけど。。。
0^x = 0 (x>0，xは自然数とは限らない)
なんだから，0^0=0 だって妥当ですわな．
0^0=1とすると，この観点からすれば，
0でいきなり「ジャンプ」してることになって
うれしくはないでしょう．
すくなくとも，No.10さんのおっしゃる
>「0^0 は変なことになるから注意」とだけ覚えておく
が0^0=1とすると起こってしまう．
もちろん，「0^x=0の立場で0^0=0」とすると
今度はあなたのいう「帰納的定義」の方
で「変なことになるので注意」が必要になる．
結局、0^0を1にしても0にしても
「0^0 は変なことになるから注意」は変わらない．
＃0^0=1は便利ではないのは，
＃0^xの右連続性が破綻するのも一例かもね

No.10さんのおっしゃる「二重極限」に関しては
おおざっぱにはグラフを書けばいいかな．
まあ，底は1未満の正の数としましょう．
＃この制限の妥当性は前の段落での理由と同じようなもの．
y=(0.1)^x，y=(0.001)^x，y=(0.0001)^x みたいに
どんどん底を0に近づけてグラフをいっぱい書いてみる．
そうすると，このグラフはだんだんと
「y軸の0以上の部分」と「x軸の0以上の部分」からなる形，つまり
｜＿　こんな感じになってくる．もちろん，実際には
こんな「90度立ち上がり」にはならないけど
こういう形に近づいていくのは見えると思う．
そうなると，「y=0^xのグラフ」ってのはこの「90度立ち上がり」と
考えても「そんなに的外れなことではない」とみなしてもよいでしょう．
そうすると，0^0は「y軸の0以上の部分」と解釈してもいい．
まさに「値が定まらず不定」．
＃この「いい加減な極限」の議論は正当化できるような気もする．
＃関数解析でよくやるような「シュワルツの意味での超関数」とか
＃デルタ関数を細工する方向かなんかで
＃（単なる直観だけど，だめかなあ）．

さてさて，立場を変えて，指数法則を根本原理とすれば
0^0=0^(0+0)=0^0 0^0は成り立ってないといけないから
0^0=1または0^0=0なんだけども，
どうやって一方を選択して，他方を棄却するのかな．
どっちを選んでも
何かがOKで，何かが駄目ってなるんじゃない？
四方まるく収まってくれない．
そういう意味でやっぱり「不定」．

ま，そういうわけで，「不定」として放置するのが
普通なんしょう．
人に文句言ったり聞くだけじゃなくって
自分でいろいろ他に例を作って考えてみたらどう？
今まで少なくとも100年くらいの人たちが
むやみに0^0=1とかってしなかったのは
伊達や酔狂じゃないんだから．
＃実際問題，必要なら0^∞みたいな変なものも，
＃こう定めるって約束してるときもある．

お礼

＞ここまでいくと
＞わざと挑発してるみたいですなあ

分かってくれました？そのとおりです。（笑）
たまにこういうのしないと、最近頭がぼける気がして…
（それともＭなんでしょうか）

＞＃nは自然数とは質問ではかかれてないけど自然数ですよね

その通りです。失礼しました。
それ以上拡張しなかったのは、私の方には必要性がなかったからで、
回答者の方で拡張が必要なら、それについて行きます、というスタンスです。

＞「すべてで丸く収まるように定義できるわけではないよ」というのを
＞主張するために「特定の範囲で定義がうまくいかない」ことを
＞提示するのはごくごく当たり前です．
＞＃「任意のxに対してP(x)ではない」の否定は
＞＃「あるxに対してP(x)ではない」

私の主張は「０＾０＝１」だけですので、それ以外の
「特定の範囲で定義がうまくいかない」のは、どうでもいいんです。
それとも、後者から前者が否定できますか？

＞0^0=1とすると，この観点からすれば，
＞0でいきなり「ジャンプ」してることになって
＞うれしくはないでしょう．

これこそ、欲しい性質ですね。０＾０＝０とすると、この性質は出てきません。
なぜ欲しいかというと、０＾ｘがｘ→０で微分できないからです。ところが、０＾０＝０だと、微分できちゃいます。
傾きがないのに、微分できないのは、私にとって矛盾です。
（それとも微分できると主張しますか？）

＞＃0^0=1は便利ではないのは，
＞＃0^xの右連続性が破綻するのも一例かもね

０＾０＝０の問題点は、破綻しないことです。破綻すべきです。

色々まだ書かれていますが、お礼があまりにも遅くなりますので、残りは次の機会に回します。すみません。

ありがとうございました。

回答No.11

orcus0930

No7、10の方が正しいですね。
0^0は任意の数をとることができるので、
0^0=1としても、問題はないでしょう。
0^0=1としたければすればいい。
ですが、それは万人が認めるものではないことをおさえなければならないでしょう。

また、No10の方への回答で、
>まともな二重極限の議論が行われているならまだしも、x>0,y>0の範囲でしか説明されていないのに、それに納得しろというのですか？

とありますが、
No4の方の参考URLにて、z=x^yのx=0,y=0での不連続性が示されています。読んでいるのなら、これを論破する証明をお願いします。

お礼

＞それは万人が認めるものではないことをおさえなければならないでしょう

万人が認めるものが存在しないことが証明されたら、そうします。

＞No4の方の参考URLにて、z=x^yのx=0,y=0での不連続性が示されています。読んでいるのなら、これを論破する証明をお願いします。

ここで示されているのは、ｘ＞０の場合だけですね。
それだけで決めて良いんでしょうか？

変な結論になる例：
ｘの絶対値の傾きを求める時、ｘ→＋０で考えれば、ｘ＝０での傾きは１です。でも、実際は不定です。これはｘ→－０を考えなければ出てきません。

ｘ＾ｙ（ｘ、ｙ→０）の場合は、絶対値の例の逆と考えると、ｘ→＋０の時に不定になるが、ｘ＝０の場合は不定じゃないというのも有り得て、それは矛盾じゃありません。（多分）

ありがとうございました。

回答No.10

arrysthmia

No.7 さんが正論です。したければ好きに定義して、
（ただし、常識的な定義に従う人と話をするときには、
0^0=1 としていることを明示的に断って）使えばよいでしょう。
誰も止めませんが、
0^0=1 と定義したべき乗は、あまり便利ではないし、
主観的には、嫌う人が多いでしょう。

0^0 の値を何と定義するにせよ、lim[x→0,y→0] x^y が
二重極限の意味で不定であることに変わりはなく、
0^0 を恣意的に定義するよりも
「0^0 は変なことになるから注意」とだけ覚えておくほうが、
簡潔で、間違いが少ないと思われるからです。

お礼

＞（ただし、常識的な定義に従う人と話をするときには、
＞0^0=1 としていることを明示的に断って）使えばよいでしょう。

ならせめて、不定であるのが常識的な理由を説明してください。

＞0^0 の値を何と定義するにせよ、lim[x→0,y→0] x^y が
＞二重極限の意味で不定であることに変わりはなく、

まともな二重極限の議論が行われているならまだしも、x>0,y>0の範囲でしか説明されていないのに、それに納得しろというのですか？

＞0^0=1 と定義したべき乗は、あまり便利ではないし、

これも例があれば教えてください。参考にいたします。

ありがとうございました。

回答No.9

jmh

> 不定形ってのは「極限が求めにくいヤツ」ですよね？
>
分かりにくくて、申し訳ないです。書き直します。『「不定形０＾０」という言葉は、「極限ｘ＾ｙ（ｘ，ｙ→０）を考えています」という意味になってしまうと思う』という意味でした。

> そんなの嫌いというのが（私にとって）問題です。（笑）
>
０＾０＝１が嫌いな人もいるんだと思いますよ（もしかしたら多数派なのかな？）。

> この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？
>
その定義で「０＾０＝１、他は皆んなと同じ」を証明できないのであれば、問題があるんじゃない？
定義を根こそぎ変えるんじゃなくて、例えば「０＾０＝１と延長する」のが簡単なんじゃないかしら。

お礼

＞『「不定形０＾０」という言葉は、「極限ｘ＾ｙ（ｘ，ｙ→０）を考えています」という意味になってしまうと思う』という意味でした。

極限ｘ＾ｙ（ｘ，ｙ→０）で考えた結果なら、それも一理あるのですが、ｘ→－０、ｙ→－０の場合を除いて考えていますよね？
もちろんそれは、計算できないためだと思いますが、でもだからといって、ｘ→＋０、ｙ→＋０の結果だけを元にｘ、ｙ→０の極限を想像して良いものでしょうか？

＞定義を根こそぎ変えるんじゃなくて

その定義が嫌いなんです。なんで１乗の定義が最初なんですか？
（というより、回答が低調なので、こういう議論が好きな人が少ないのかな、とちょっとガッカリ）
すでに０という数字は見つかっているのに、まだ１へのこだわりがつよいのでしょうか。

ありがとうございました。