０の０乗は１、にしたい

質問

０の０乗の値について、過去に色々な質問がありますが、結論としては不定というのが多いみたいです。
でも、素朴な疑問として、１として問題があるのかな、と思いました。

そこで、べき乗の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎ≧１）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

回答No.22

R_Earl · ベストアンサー

ANo.14です。

> そして、この式は以前の式より、より０＾０に近づいており、より１に近づいています。
>
> つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。

その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。

f(x) =
1 (x ≠ 3)
-1 (x = 3)

とすれば、x → 3 ± 0の時、f(x) → 1ですが、f(3) = -1です。

私が0^0 = 1としたくないのは、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフがきれいでなくなるからです
(とはいっても、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフは横直線なので、あまり面白い形ではありません。
本当はもっと良い関数を例としてあげたかったんですが)。
たった、それだけの理由です。

情報理論の「エントロピー」と呼ばれるものの話では0^0 = 1を用います。
エントロピー関数H(x) = -xlogx - (1-x)log(1-x)　(0 ≦ x ≦ 1)
のグラフは、0^0 = 1を採用すると綺麗になります
(x = 0, 1の時、0log0が出てきます。この0log0を変形すると、log(0^0)となります)。
x → 0の時のxlogxの極限値は0ですし、x → 1の時の(1-x)log(1-x)の極限値も0です。
なので0log0 = log(0^0) = 0（結局、0^0 = 1）を採用するとグラフが0 ≦ x ≦ 1の範囲で連続となり、綺麗なグラフになります。
また「エントロピー」という言葉の意味からも、そうした方が都合が良いです。

しかし、0^0 = 1が他の話で都合よく働くとは限りません。
すでに0^0の極限値が5となるような関数の例を紹介しましたが、
そのような関数を採用した何かを考える時は0^0 = 5を採用した方が自然だと思います。
なので私自身は、0^0 = 1と固定したくないだけです。
「不連続は不自然だから嫌」というだけの理由です。

> この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

色々考えてみましたが、今のところ矛盾点は見つかりません。

お礼

なるほど。おっしゃりたいことがよく分かりました。
なかなか深い意味があったのですね。

でもご安心ください。そのグラフはｘ＝０では定義されていませんから、（ｘ＝０、ｙ＝１）という点は存在しません。
よって、横直線であることに変わりはありません。
（屁理屈かもしれませんが…）
この場合でも、０＾０＝５を採用する必要はないのです。

もしこれが、ｘ＝０でも式が定義されていて、そのグラフが０＾０＝１では不自然になるという例が存在したならば、その時は、今回の定義を取り下げさせていただきます。

＞その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。

いいえ。極限値に実際の値と同じものがある、という条件は外せません。そうでなければ、１が自然な値とは言えませんので。

エントロピー関数の例も、興味深く拝見しました。

ありがとうございました。

回答No.8

Ishiwara

＃６です。
>>（Ｂ）０＾ｙ＝０という定義とは
> こんな定義はありません。幻です。

私が「すべてのｙについて（Ｂ）が成立する」と主張しているのでないことは、文面で明らかだと思ったのでが、誤解されたようですね。省略せずに書けば、次のとおりです。
すべてのｘについて「（Ａ）ｘ＾０＝１」と定義しようとし、かつ
すべてのｙについて「（Ｂ）０＾ｙ＝０」と定義しようとすれば、
ｘ＝０かつｙ＝０のときに矛盾を生じます。そこで…

> Ｂが自然な定義と思うのは、まったくの誤りです。
「Ｂが自然に成立する」とは言っていません。ＡとＢが矛盾し、どちらかが譲歩する必要が生じて、ＡとＢを比較すると、ＡはＢよりも人工的、ＢはＡよりも自然的な発想なので、Ｂを採るほうが数学体系上の「傷」が小さいのではないか、という感想を述べたものです。

> ｙ＜０の時、この値は計算できません。
もちろんそうです。しかし、目前の議論はＡとＢの接点における「局地的国境紛争」なのですから、そこに絞るべきです。それ以外のことは、例えば「０＾ｙ＝０とする。ただしｙ＞＝０とする。」で済む話です。

お礼

＞（Ａ）ｘ＾０＝１という定義

こちらは、すべての実数ｘについて定義できます。

＞（Ｂ）０＾ｙ＝０という定義

こちらは、ｙ＞０である実数ｙについての定義です。
さらに、ｙ＜０である場合には、計算できません。

定義域について、これだけ有利不利がはっきりしているのに、Ｂの方が自然であるという主張に、私は疑問を持ちます。

＞「０＾ｙ＝０とする。ただしｙ＞＝０とする。」で済む話です。

本来ｙ＞０でしか定義できない関数について、無理やりｙ＝０の場合だけを付加するのは、人工的に見えてしかたありません。

もう一度言い換えると、ｘ＝０の点以外で連続な関数Ａに、矛盾しないｘ＝０の点での値を定義することと、ｙ＝０の点では明らかに不連続な関数Ｂに、ｙ＝－０の値を無視して、ｙ＝＋０の値で定義することが、同列に論じられるとは思いません。

なんだかくどい説明になりましたが、分かってもらえませんか？

ありがとうございました。

回答No.7

debukuro

＞０の０乗は１、にしたい
したければどうぞお好きなように

お礼

無駄なコメントは好きではありませんが、
したければどうぞお好きに。

ありがとうございました。

回答No.6

Ishiwara

（Ａ）ｘ＾０＝１という定義と
（Ｂ）０＾ｙ＝０という定義とは
ｘ＝０かつｙ＝０のとき衝突します。
そこで、０＾０を１とするか０とするか（つまり、Ａ・Ｂのどちらを優先するか）が必要となります。
実は、どちらに決めても、数学の体系は構築できたのです。
どちらにしても「ただし、…は０でないものとする」という記述があちこちで必要になります。しかしＢを優先させたほうが、このような言い訳が少なくて済みます。それは、Ａが人工的な定義であるのに対して、Ｂのほうが自然な定義だからでしょう。

お礼

＞（Ｂ）０＾ｙ＝０という定義とは

こんな定義はありません。幻です。
すぐ分かることですが、ｙ＜０の時、この値は計算できません。
それなのに、ｙ＝０の時もこの式が成り立つという考えは変です。

Ｂが自然な定義と思うのは、まったくの誤りです。

ありがとうございました。

回答No.5

yaemon_2006

0^0 == 1
0/0 == (0^1)/(0^1) == 0^(1 - 1) == 0^0 == 1

3 * 0 == 0
3 == 0/0 == 1
3 == 1
？

お礼

＞0/0 == (0^1)/(0^1) == 0^(1 - 1) == 0^0 == 1

０／０と何かを＝で結ぶことがそもそもの間違い。
（それ以外の問題点は、実力不足で見えていませんが…）

0/0==0*0/0==(0^1)*(0^1)/(0^1)==0^(2-1)==0^1==0

というように、0^0を使わなくても変な式ができます。

ありがとうございました。

回答No.4

jmh

> 結論としては不定というのが多いみたいです。
>
未定義だと思います。不定形ってのは「極限が求めにくいヤツ」ですよね？

> １として問題があるのかな、と思いました。
>
ないと思います。便利になります。逆に「０^０＝９９とする」と何か問題があるの？

> そこで、べき乗の定義を…
>
「０＾０＝１、他は皆んなと同じ」ということを示してください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97#0.E3.81.AE0.E4.B9.97_.3D_1

お礼

参考ＵＲＬは既に参照しています。

＞不定形ってのは「極限が求めにくいヤツ」ですよね？

０＾０を極限値として考える、ということに納得してないもので。
極限値には、退場してもらっています。

＞逆に「０^０＝９９とする」と何か問題があるの？

９９が特別の数になります。
あえて言えば、そんなの嫌いというのが（私にとって）問題です。（笑）

＞「０＾０＝１、他は皆んなと同じ」ということを示してください。

０＾０＝１
０＾１＝０＾０×０＝０
０＾２＝０＾１×０＝０

１＾０＝１
１＾１＝１＾０×１＝１
１＾２＝１＾１×１＝１

２＾０＝１
２＾１＝２＾０×２＝２
２＾２＝２＾１×２＝４

……こういうことの証明でしょうか？
それは、私の手には余りますね。
０または正の整数では、成り立つようですが……

回答No.3

orcus0930

#2です。
べき乗　ないし　指数は既に定義があるので、
a^0=1　と定義したなら、それは
「別の数」です。
べき乗と呼ぶべきではありませんね。

逆に、0^0を定義しないと何か困るんですか?

お礼

＞べき乗　ないし　指数は既に定義があるので、
＞a^0=1　と定義したなら、それは
＞「別の数」です。

すみませんが、理解できるように理由を言ってください。
少なくとも、これがべき乗の定義として矛盾を含んでいるので採用できない、くらいのことは。
そうでなければ、先に定義した人がそう決めた、としかいっていないように感じます。

ありがとうございました。

回答No.2

orcus0930

Wikipediaによれば、指数は
a^1 = a
a^(p+q)=a^p*a^q
で定義されています。

a^nはp=1,q=n-1として帰納的に考えられます。

0^0=1としたい人は結構私のまわりにもいますが、
それは、0/0=1とすることになってしまいます。

p=0,q=1として、
a^1=a^0*a^1
a=a^0*a

a=0として、
0=0^0 * 0
0^0=0/0
です。

極限とは全く別の話になるので、0^0=1としたければ、
0/0=1ということを認めなければならないでしょう。

お礼

＞0^0=1としたい人は結構私のまわりにもいますが、
＞それは、0/0=1とすることになってしまいます。

これは、定義がa^1から始まるからです。
最初の定義にa^0を入れてしまえば、0/0という計算は出てきません。
問題は、この定義に無理があるかどうかです。
定義が変えられないなら、しかたないですけど…

ありがとうございました。

回答No.1

u-don

０か１かは利便性における定義の問題だと思いますが、基本的には不定形が一般的かと。。
ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）ｘ　（ｎ≧１）
それと上の式ですが、変形すると
ｘ＾ｎ＝ｘ＾ｎ　になりますよ・・・
左辺は右辺の式と同じ形なので証明に使う式にはなりえません

お礼

一般的なものがどうなっているか、の話ではありません。

＞ｘ＾ｎ＝ｘ＾ｎ　になりますよ・・・

両辺が等しくなければ、それこそ変ですが…

ありがとうございました。

補足

＞　ｘ＾０＝１
＞　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎ≧１）

２つ合わせて、帰納的なべき乗の定義です。