自然対数を用いた1.0005の5乗の概算値の導出法

質問

自然対数を用い、対数や逆対数の表を引かずに1.0005の5乗の概算値を求めよという問題についてです。
　（答えは、xの値が非常に小さいときの公式　(1+x)^p＝1+px　より、1.0025であることはわかるのですが、下記に書きましたが自然対数をどのように使うのか、わかりそうでわからずモヤモヤしております。）
下記についてどなたかわかる方ご教示お願い致します。
(社会人ですが高校生の数学レベルでお願い致します。）

上記は、R.P.Bauman　熱力学序説　東京化学同人 1968.の付録「基礎的な計算法」章末問題にあるものです。
「基礎的な計算法」の中の、自然対数についての説明は下記の通りです。
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『数eはｘの小さな値に対する関数(1+x)^(1/x)の極限値として定義される。それゆえ、ｘの十分小さな値に対して(1/x)ln(1+x)=ln e = 1 すなわち　ln(1+x)= x である。』
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これからN=1.0005の時、ln N＝0.00050はわかります。そして、1.0005の5乗は（1+0.0005）の5乗として、多分、1の5乗+0.0005×5なのだろうと思います。ですが、自然対数を用いて「(1+0.0005)の5乗」＝「1の5乗+0.0005×5」がどのように導けるか、その導出がわかりません。

また、微分を使った 「1>>xの時の　(1+x)^p＝1+px」の　高校生向けの証明はみつかりましたが、自然対数の場合どのように概算値を導いたら良いのでしょうか。証明(といっていいのかわかりませんが）を教えてください。

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

|x| が１に比し十分小さいとき、
ln(1+x) = x, (すなわち、e^x = 1 + x)
と近似できます。
x=5*10^(-4) とすると、
(1 + 5*10^(-4))^5 = e^0.0025=1 + 0.0025
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お礼

詳細な説明を、ありがとうございました。
「e^x=1+x」のｘを5ｘで置き直すということが、私にとって目からうろこでした。
こんなことに気がつかず10年以上、たまに思い起こしてはモヤモヤしていた霧が晴れました。ありがとうございました。
ベストアンサーとさせて戴きます。

OKwaveは宛名ラベルシート印刷不調の問い合わせ先になっており、先週たまたまユーザー登録したのですが、一瞬で2名の方から回答をいただけて、「聞くは一瞬の恥、聞かぬは一生の恥」を実感致しました。

回答No.1

f272

xの値が非常に小さいときln(1+x)=xがわかったのなら
ln((1+x)^5)=5*ln(1+x)=5x
5xの値も非常に小さいので、対数を元に戻すと
(1+x)^5=1+5x
ということ？

お礼

早速にご回答戴きありがとうございました。
Q＆Aサイトでこんなに早く回答をいただけるとは本当にありがたかったです。
(1+x)^5=1+5x　の式が何でこうなるのだろうと、躓いておりました。
ご教示くださった
「5xの値も非常に小さいので、対数を元に戻すと」を
昨日までの私には、読み取る力がなく、次にいただいた方のご説明を見てから
「5xの値も非常に小さいので、対数を元に戻すと(1+x)^5=1+5x」がまさにその通りであることを理解しました。

具体的には、
(1+x)^5=(e^x)^5=e^(5x)　として、
さらにe^(5x)について、
「e^x=1+x」のｘを5ｘと置くと、
　e^(5x)=1+5xとなり、
最終的に　(1+x)^5=1+5x　になるのだったのですね。

申し訳ないのですが、上記のようなレベルで私の能力が足りなかったために、ベストアンサーは2つめの回答の方にさせて戴きます。
10年来の悩みが晴れてすっきり致しました。本当にありがたく思っております。