自然対数e 微分してかわらない定義ですか？

質問

こんにちは。
　自然対数e^xを微分してもe^xです。これはそのような
eをつくったと考えるといいのでしょうか？
では、どのようにeはできたのでしょうか？
　(1+h)^(1/h)において、h→0+0　h→0-0として，
得た値がe=2.718281828459…
となると言っても
　そうですか。覚えましょう、
　自分の中でモヤモヤしたものがあります。
　教えてください。

回答No.5

pascal3

他の方々が書かれていることとも重複しますが、まず一般論として、定義と定理は入れ替え可能であるということは知っておくべきかと。
そのうえで、たとえば「自分はAを定義としてBを導く」とかいったことを明確にすればよいと思います。

たとえば
「微分して自分自身になるという性質から指数関数を定義し、その底をeとする」
という定義から
「このeは e = lim(1+1/n)^n をみたす」
という定理を導くこともできるし、逆に後者を定義にして前者を定理にすることもできます。

私の個人的な趣味としては
dy/dx = y を差分化して解いて y_n = (1+Δx)^n を求め、
その連続極限として指数関数を定義し、
これから e = lim(1+1/n)^n を導く、という筋書きが好みですが、
別の人は対数関数を先に定義するほうが良いというし、
さらに別の人は別のものを定義にする、といった具合です。
しかしいずれの場合でも大事なのは、定義から定理（定義以外の公式）を論理的に導出できる、ということかと思います。

お礼

差分化して・・詳細なものあれば教えてください。
対数関数を先に定義する場合にはどのようなことに
なるのか教えてください。
　これらの文献はありますか？
何で学習すればいいのでしょうか？

回答No.4

alice_44

lim[h→+0] (1+h)~(1/h) でも、
lim[n→∞] (1+1/n)~n でも、
(d/dx) a~x = a~x となる a でも、
∫[x=1～a] dx/x = 1 となる a でも、
ともかく、値が e となる定義なら
何でもいいんですよ。

どれか一つを定義として採用すれば、
他は定理として証明できます。

どれを選ぶかは、趣味の問題に過ぎませんが、
頭のモヤモヤを払うためには、
自分がどの定義を採用したか
個人的に明確にしておくとよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
　定義としてとらえれば、三角関数や指数関数、対数関数
の微分法や積分法はきれいに解けるわけです。
でも公式だからとか、ただ解けるだけ、で少々複雑な気分
です。

回答No.3

Tacosan

「歴史的にどうであるか」と「数学的にどのように定義するか」は別の話なので, 「初期値問題 y'(x) = y(x), y(0) = 1 の解を y(x) = e^x と定義する」ことは可能です. もちろんこれだと「そのような関数が存在するのか」というところからちゃんと言わないとダメですけどね.

お礼

歴史的にどうなのか。
数学的にどう定義するか。
　詳しく知りたっかたです。
ありがとうございます。

回答No.2

R_Earl

eの定義は「n→∞の時の{1 + (1/n)}^nの収束値」となります。

そんな感じで作ったeがたまたま
(e^x)' = e^xという性質をもっていたり、
自然対数の底と一致したりしたんです。
なので

> 　自然対数e^xを微分してもe^xです。これはそのような
> eをつくったと考えるといいのでしょうか？

は違います。
eが先に作られたんです。
そして「eを指数関数の底にすると微分しても変わらない」というのは
後から分かったことなんです。

お礼

ありがとうございます。
　自然対数のeと一致したんです、
というのが、いまひとつわかりませんが、
eの値が先にあり、
その後、この値がいろいろ応用できると。

回答No.1

hugen

http://homepage2.nifty.com/mathfin/sukin/sukin04.pdf

お礼

単利と複利の計算
　難しいです。
　あとで、じっくり読んでみます。
ありがとうございます。