自然対数の経済学的な意味に関して

質問

自然対数の経済学的な意味に関して、若干理解できない部分があるので、よろしくご教示ください。

まず、以下のサイトで
http://www2.kumagaku.ac.jp/teacher/~sasayama/macroecon/mailmagalogarithm.html
＞ 一般に、A 円を年利 r の複利で預金した場合、t年後には元利合計は
＞ A e^(rt)
＞ で増加していきます。複利の金利を経済成長率とみなせば、上の式はGDPの成長率を表していると読み替えることができます。

という記述があります。これがいまいち納得できないのは、そもそもこの公式は n の値を無限大に、つまり「t 年に無限回利息を元金に組み入れる」という、ありえない想定のもとで生まれたもので、それがなんで、複利預金の元利合計の計算式として一般化できるのか、いまいちわからないのです。

また、ポール・クルーグマンという経済学者の論文で、やはり自然対数を使った効用関数の式が出てくるのですが、上記サイトで学んだ自然対数の用法とはなんか違うような使われ方をしていて、解釈に悩んでいます。

http://cruel.org/krugman/japtrapj.html
＞ U = ln(c1) + D ln(c2) + D^2 ln(c3) + ...

最初の ln(c1) というのは、e を何乗すると1時間の消費額になるのか、という意味ですか？　すみません、そうだとしても意味わからんです。さらに割引率が絡んできたりしてるのでお手上げです。なぜ効用と元利合計、割引率が結びつくのかがそもそもわかりません。これの意味も教えていただけませんでしょうか。

回答No.1

at9_am

まず、複利計算に関して。
おそらくご存じだと思いますが (1+r/n)^(n) は n→∞の時に exp(r) に収束します。したがって利率は e^(rt) になります。特に、よく経済学で用いられる連続時間の概念の中では、非常に便利なのでよく用いられます。離散時間でも相当良い近似になりますので、しばしば用いられます。

効用関数の話は、また別の話です。
効用関数の代表的な形の一つとして
u(c) = (c^a)/(1-a)
という形があります。この関数の a→1 の極限はln(c)になりますので、この関数の特殊例の一つとして
u(c)=ln(c)
は位置付けることが出来ます。ですので
U = u(c1) + D u(c2) + D^2 u(c3) + ...
= ln(c1) + D ln(c2) + D^2 ln(c3) + ...
という意味になります。ただし D は割引率です。

お礼

すばやく教えてくださってうれしいです。よくわかりました、近似ってことなんですね。どうもありがとうございました。