集合の要素の個数

質問

学校の問題集に「100から200までの自然数のうち、22に対して、1以外に公約数を持たない数はいくつあるか」という問題がありました。
集合の要素の個数の求め方は分かるのですが、↑の問題の「22に対して、1以外に公約数を持たない数」という質問の意味が分かりません。
どなたか説明してください。よろしくお願いします。

回答No.1

banakona · ベストアンサー

「ある数と２２の公約数が１だけ」という意味です。
例えば、１００は、２２との公約数は１と２なので該当しません。
１０１は１だけなので該当します。

普通は「２２と互いに素な数」と表現します。

お礼

回答ありがとうございます（*^_^*）
「公約数」と書いてあるのに、勝手に「約数」だと思い込んでいて、
「約数？？何で22と対になるの？？」みたいに変に混乱していました…
貴方のおかげで、「公約数」というのに気付くことができました！
そして、とてもすっきりしました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

nious

言い換えると「22と互いに素な数」の個数を聞いている訳です。

1～200までにある、22と互いに素な数は、
200-([200/2]+[200/11]-[200/22])=200-(100+18-9)=91個
1～99までにある、22と互いに素な数は、
99-([99/2]+[99/11]-[99/22])=200-(49+9-4)=45個
よって100～200には、91-45=46個

お礼

回答ありがとうございます。
言い換えの部分がわかりやすかったです。
スッキリしました(^O^)／

回答No.2

orcus0930

公約数は　2つ以上の数をすべて割り切ることができる整数（この場合は自然数）なので

22の約数が　1,2,11,22　であることから、
100～200までで、2,11,22を約数に持たない数の個数を求めろということです。

22　は　2の倍数ですから、
求めるべきは
100～200までで 2の倍数ではなく かつ 11の倍数ではない 数の個数といいかえられます。

100～200　までの自然数（この集合をU）は　101個
2の倍数（この集合をA）は　51個（200/2=100,99/2=49...1,100-49=51）
11の倍数（この集合をB）は　9個 (200/11=18...2,99/11=9,18-9=9)
22の倍数（A∩B）は　5個 (200/22=9...2,99/22=4...11,9-4=5)

補集合はnot(A)のように表記し、要素数はn(A)のように書くとすれば、
求めるべきは
n(not(A)∩not(B))です。
=n(not(A∪B)) ←ド・モルガン
=n(U) - n(A∪B)
=n(U) - {n(A) + n(B) - n(A∩B)}
=101 - (51+9-5)
=46

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
計算式まで書いていただき、感謝しています。