集合の要素

質問

集合の問題で、３の倍数の集合とかならわかりやすいのですが、
次の各条件を満たす集合をS（Ｓは空集合でない）とする
1）すべてのx,y∈ Sにおいて x-y∈ Ｓである
2)すべてのｘにおいてｘの倍数はＳに含まれている
のような場合、例えば３が含まれているとかんがえると、３の整数倍のかずしかこの集合は含めませんが、３と４が含まれている場合Ｓは整数の集合になってしまいます。最初というかひとつは要素を決めないとほかの要素が決まらないような場合はどこからスタート（？）すればよいのでしょうか？
ちなみにこの集合に関する問いが
Ｓのすべての要素はある自然数ｄ∈Ｓの倍数だけであらわせることをしめせということなのですが、もし0.1などをふくんでしまったらなんて考えてしまうのですがどうなのでしょうか？

回答No.1

funoe · ベストアンサー

>どこからスタート（？）すればよいのでしょうか？
に対する回答としては、Ｓは空でないので要素ｘをひとつ持つ。ってところから始めるのがスジ。

この出題の場合は、
まず、
Ｓ＝｛0｝のとき、「Ｓのすべての要素はある自然数ｄ∈Ｓの倍数だけであらわせる」
↑この主張の正当性は、私にはわかりませんが、出題者にとっては正しいのでしょう。

としておいてから、
「いま、Ｓが０でない要素ｄを持つとする。」って感じで書き始めるのが良いでしょう。

以下は、
条件１（x,y∈ S⇒ x-y∈ Ｓ）より、d-d=0∈S　であり、Ｓは要素０を持つ。
また、0-d=-d∈Ｓから、Ｓは要素-ｄを持つ。
ｄか－ｄは一方が正なので、Ｓは少なくともひとつ正の要素を持つ。

Ｓに含まれる、正で最小の要素をｃとする。

条件２(ｘ∈Ｓ⇒ｎｘ∈Ｓ、ｎ∈Ｚ）より、ｃの倍数はすべてＳに含まれる。

いま、ｃの倍数でないｂがＳに含まれるとする。　　（←帰謬法（背理法）の仮定ってヤツです）

ｂが正としても一般性を失わない。（ｂ∈Ｓ⇒－ｂ∈Ｓだから）

ｂをｃで割った商をｍ、余りをａとすると、

ｂ＝ｍｃ＋ａ　（0＜ａ＜ｃ）：ちなみに割り切れたらｂはｃの倍数になっちゃうよね。

条件１から、ｂ，ｃ∈Ｓ　より　ｂ－ｃ∈Ｓ、

これをｍ回繰り返して　ｂ－ｍｃ∈Ｓ　すなわち　ａ∈Ｓ　　（←ｍ回繰り返しての部分は細かくは帰納法）

これは、ｃがＳに含まれる最小の正数であることに反する。

以上より、Ｓにｃの倍数以外の要素はない。

回答No.4

stomachman

ANo.1は完璧解答だと思います。で、余談ながら、

> もし0.1などをふくんでしまったらなんて考えてしまうのですがどうなのでしょうか？

　悪くない着想だと思いますよ。

　Sが空集合でないのなら、Sには何か要素がある。
　その要素をpとすれば、（条件(1)でx=p, y=pとやって、）0∈Sが分かる。つまり、0は必ずSに含まれているんです。
　すると、（条件(1)でx=0, y=pとやって、）Sは-pも含む。（もしSは自然数の部分集合だと思い込んでいたら、ここで分からなくなってしまうでしょう。）
　さらに、（条件(1)でx=p, y=-pとやって、）Sは2pも含む。なのでSはpの整数倍を全て含むと分かる。つまり、条件(2)は実は条件(1)から導ける。余計なんです。（証明は帰納法を使えば簡単です。）
　なお、もちろん、「pの整数倍全て」とは、その要素pがp=0なら{0}だし、p=1なら(整数全体の集合)。Sの例のうちで、最も小さい集合と、最も大きい集合ですね。

　ところで、Sを整数に限定せず、たとえば実数の部分集合だと考えると、たとえばS={ x | s,t,uは整数で、x=s+(√2)t+(√5)u} なんてのも条件(1)(2)を満します。いろんな例ができてしまいますんで、ご質問の問題のような簡単な結論にはまとまらない。

回答No.3

B-juggler

ハイこんにちは。　代数学の元非常勤講師です。

あんまり難しく考えないことでしょうかね。

問題にある、（ｘ、ｙ）について、何も制約がないか確認しておく必要はあるでしょうが。

　＃ｘ、ｙ　は　自然数です　なんて書いてあったら、ちゃんとここにも書いてね

　＃そういうことはすごく大事だから。

さて、集合Ｓが空集合でないことから、何か１つでも集合の中に入っているんですね。

そこからはじめて結構。

＞Ｓのすべての要素はある自然数ｄ∈Ｓの倍数だけであらわせることをしめせ

が問題なのですから、

自然数ｄが含まれるとすればいいですよ。

で、（２）の条件から、ｄの倍数は全て含まれるとすれば、

任意の二つ（ここでは、ｘとｙと書いてあるだけ）の差は、必ずｄの倍数ですね。

　＃さてここで１つ制約が出るんだけど、気がつくかな？

　＃ｘ≠ｙじゃないと、　差が０になりますね。

考え方が逆なんだと思うよ。

Ｓの要素がどういったものかを先に考える。

Ｓの要素は適当に決まっているんじゃないから、０．１　があると考えるのは

後でいいのですよ。　条件に沿うように集合Ｓの要素を定める方が先です。

証明は背理法でも何でもいいと思うけど、集合の要素を定めるのが先ね。

この問題ではそっちを悩むんだと思うよ。

難しく考えない＾＾；　確実にいえることを、確実に埋めていけばいいです。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.2

hrsmmhr

自然数d とか出てきた時点で自然数だけ考えればいいと
勝手に思うのですが、確かに厳密には代表元とか明記すべきです

アナロジーとしては飛んでいるかもしれませんが
１つの直線上のどこかの点
だけでは特定の1点は限定できませんが、
他の直線との交点
と書けば点が特定されるみたいな考え方でいいのではないでしょうか？

(1)や(2)の条件だけでは特定の集合を指し示していないということだと思います