集合の円の図の中に書く要素について

質問

集合の要素を書くとき、A={1、2、3、…}というように式のように書くか、円の中に要素を書くか、という二通りがあります。

例えばB={1、2、3、4、5}などといった有限集合かつ要素が少ない集合なら、円の中に全て書き込めばOKです。

しかし、有限集合だが要素が多い集合、または、無限集合なら、円の中に全て書き込むのは普通しませんよね。
だからそれをx一文字で表したりするのですが…。
または、参考書には、Aという集合の名前がついた円があり、Aにかっこづけで、A（3で割り切れる数）などというように書いてあり、円には何も書かれていません。
そのような記法もあるみたいですね。

ここで質問です。
有限集合だが要素が多い集合や、無限集合では普通は円に全ての要素を書き込みません。
しかし、要素の中から数個選び出して円の中に書き出す事は可能でしょうか?
（一個だったり、二個だったり、三個だったり、…）

円の中に要素を書き出すなら、やはり全て書かないといけないのでしょうか?

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

＞集合の要素を書くとき、A={1、2、3、…}というように式のように書くか、円の中に要素を書くか、という二通りがあります。

　ありません。正式な数学の文書は、図を含みません。だからと言って図が一つもない頭の固い本は、自分は嫌いですが、図は「説明図」であり、前も言いましたが、「方便」である事に変わりはありません。

＞しかし、有限集合だが要素が多い集合、または、無限集合なら、円の中に全て書き込むのは普通しませんよね。
だからそれをx一文字で表したりするのですが…。

　あなとの言う意味ではしません。Ａ＝{x|x＝1，2，3，・・・}という表し方ならします。「・・・」によって、全ての要素が書き込まれていると読みます。これも慣習による省略記法です。

＞Aという集合の名前がついた円があり、Aにかっこづけで、A（3で割り切れる数）などというように書いてあり、円には何も書かれていません。
そのような記法もあるみたいですね。

　ありません。これは、Ａ＝{x|xは3で割り切れる整数}またはＡ＝{x|xは3で割り切れる自然数}の説明図です。図は方便なので、A（3で割り切れる数）などの不正確な書き方も、慣習上許されているだけです。

＞ここで質問です。
有限集合だが要素が多い集合や、無限集合では普通は円に全ての要素を書き込みません。
しかし、要素の中から数個選び出して円の中に書き出す事は可能でしょうか?
（一個だったり、二個だったり、三個だったり、…）

円の中に要素を書き出すなら、やはり全て書かないといけないのでしょうか?

　数個だけ書き出す事は不可能だし、全て書くのが本来です。

　まずＡ＝{x|x＝1，2，3，・・・}なのに、Ａ＝{1，2，3}と書いたら、明らかに誤りです。慣習も、そこまで緩くはありません。方便として円の中に、例として1，2，3だけを書いたような図は、あり得るかも知れませんが、少なくとも「・・・」を書かないと、本来は説明図としてさえ誤りです。

お礼

ありがとうございます。
なるほど。よく分かりました。

結局は円は単なるイメージであり、重要な事ではないのですね。

補足

集合の要素を円に表すのは普通は正しくなく、円は単なるイメージの手助けだというような回答を頂きましたが、ちょっと疑問です。

数Aの集合の単元で、教科書では、ベン図として円の図が用いられてます。
まあ全体集合Uの四角い図の中にある円で
すが。
これもイメージの手助けですかね?
確かにベン図を使わなくても式には表せますし。
教科書にも、
“集合を表すには、次の２つの方法がある。
（1）要素を書き並べて表す方法
A={1、2、3、4、6、12}
（2）要素の満たす条件を示して表す方法
A={x|xは12の正の約数}”
とあり、円については書かれていません。ただちょこちょこ説明として円が書かれています。
しかし、例題には図を端に書いて、過程が書かれてあります。
実際には円での表し方は正しくないが、テストなどで解答用紙に図を書いてはいけないのでしょうか?
図を添えて、過程を書くことは認められていますよね?

あと、無限集合や有限集合で、要素を円に書ききれないときは、それをx一文字で表しますよね?
と聞きましたが、円に書くという事で（つまり、式に書くやり方でなく、図でのイメージとしては）、いいですかね?
教科書などにも、イメージとしての円の中の要素が多いときはx一文字で表してあります。
正しくないとは分かりましたが、イメージとしての是非はどうですかね?

?が多くてすみません…。
よければ教えてください。

回答No.4

alice_44

貴方の自然数論が選択公理を含むなら、無限集合の中から
一個だったり、二個だったり、三個だったり…の元を
取り出すことができますが、選択公理を含まないのであれば、
無限集合から特定の元を取り出すことはできません。
特定の元を持つ無限集合を構成することなら、常に可能ですが。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

noname#221368

まだ締め切られていないので、書きます。#2です。

　やっと概ね納得して頂けたのかなぁ～、という印象を受けました。

　（補足に書かれた、ここまでを含めて・・・）
＞実際には円での表し方は正しくないが、テストなどで解答用紙に図を書いてはいけないのでしょうか?
図を添えて、過程を書くことは認められていますよね?

　認められているどころか、推奨されていると自分は思います。回答に概略図を描くような生徒がいたら、きっと教師はかなり感動すると思います。

　ただし図が何を意図したものであるかを、式できっちり定義しないと、逆に減点対象になるでしょう。数学教師だって常識感覚があるし、回答の文脈を読めない訳ではないから、じつはかなり譲歩してるんですよ。だから意図がわかれば、全くの×ではなくて、部分点の減点くらいで済ませます。

（自分は、教職ではありませんが、そう思います）

＞あと、無限集合や有限集合で、要素を円に書ききれないときは、それをx一文字で表しますよね?
と聞きましたが、円に書くという事で（つまり、式に書くやり方でなく、図でのイメージとしては）、いいですかね?

＞教科書などにも、イメージとしての円の中の要素が多いときはx一文字で表してあります。
正しくないとは分かりましたが、イメージとしての是非はどうですかね?

　だから、イメージとしては良いんですよ。それに伴って、正確な式が書かれていれば完璧です。その理由は、図は数学において方便だからです。そうでない数学もあり得たとは思いますが、誰もが誤解しない書き方というのを考えると、「図」と「正確な式」はセットでないかな？、と思えます。

お礼

回答ありがとうございます。よく分かりました。

回答No.1

Tacosan

「集合を円で表しその中に要素を書く」というのは所詮イメージでしかなく, こんなもので厳密に議論しようなどという馬鹿はいないはず. だから, 互いに了解が取れるのであればどう書いても構わないのではないかな. とはいえ, 普通は「ここにはこれだけしか挙げてないけど, 実際にはもっとたくさんあるよ」ということが分かるように書くものだと思うが.
ところで, 「有限集合だが要素が多い集合や、無限集合では普通は円に全ての要素を書き込みません。」と書いてるけど, 無限集合で「全ての要素を書き込む」ことってできるの?

お礼

回答ありがとうございます。
すみません。出来ませんね。

円は結局は単なるイメージの手助けであり、重要でなく、集合を表すのは、式というか、かっこづけで表すのが適切なんですね。