数字の問題を教えて下さい。

質問

以下の２つの値の求め方を教えて下さい。

①Σ(k^2)*(x^k)
(kの二乗)掛ける(Xのk乗)にΣがついている。

②Σ{(k+2)Ck}*(x^k)
コンビネーション(Cの左がk+2)(Cの右がk)掛けるXのk乗

どちらもΣの下がk=0でΣの上がk=∞です。
Xは絶対値が1より小さいです。

手元に参考資料がなく、どうしても分からないので、どうかお願いします。

回答No.4

nettiw · ベストアンサー

S=Σ(1,n)k(x^(k-1))

x=1
S=1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2

x≠1
S=1(x^0)+2(x^1)+・・・・・+(n-1)(x^(n-2))+n(x^(n-1))
S*x=,,,,,,,,,,,1(x^1)+2(x^2)+・・・・・・・・+(n-1)(x^(n-1))+n(x^n)

(1-x)*S
={(x^0)+(x^1)+(x^2)+・・・+(x^(n-1))}-n(x^n)
=[{1-(x^n)}/(1-x)]-[n(1-x)(x^n)/(1-x)]
=[1-(x^n)-n(x^n)+n(x^(n+1))]/(1-x)
=[n(x^(n+1))-(1+n)(x^n)+1]/(1-x)

S(n)=[n(x^(n+1))-(1+n)(x^n)+1]/{(1-x)^2}

S(1)=[x^2-2x+1]/{(1-x)^2}=1
S(2)=[2(x^3)-3(x^2)+1]/{(1-x)^2}=2x+1

S(x)=1(x^0)+2(x^1)+・・・・・+(n-1)(x^(n-2))+n(x^(n-1))
=d/dx∫(0,x)[1(t^0)+2(t^1)+・・・++n(t^(n-1))]dt
=d/dx[t+t^2+・・・+t^n](0,x)
=d/dx[x+x^2+・・・+x^n]
=d/dx[x{1+x+・・・+x^(n-1)}] (x≠1)
=d/dx[x{(x^n)-1}/(x-1)]
=d/dx[{(x^(n+1))-x}/(x-1)]
=[{(n+1)(x^n)-1}(x-1)-{(x^(n+1))-x}]/{(x-1)^2}
=[(n+1)(x^(n+1))-(n+1)(x^n)-x+1-(x^(n+1))+x]/{(x-1)^2}
=[n(x^(n+1))-(n+1)(x^n)+1]/{(x-1)^2}

|x|<1　,　n --->∞　,　S(x)　--->　1/{(x-1)^2}
---------------------------------------

T=Σ(1,n)k(k+1)(x^(k-1))

x=1
T=1・2+2・3+3・4+・・・+(n-1)n+n(n+1)

1・2・3-0・1・2=(3-0)・1・2
2・3・4-1・2・3=(4-1)・2・3
3・4・5-2・3・4=(5-2)・3・4
・・・
(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n={(n+1)-(n-2)}(n-1)n
n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)={(n+2)-(n-1}n(n+1)

n(n+1)(n+2)=3T
T=n(n+1)(n+2)/3

x≠1
T=1・2・(x^0)+2・3・(x^1)+3・4・(x^2)+・・・+n(n+1)(x^(n-1))
Tx=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1・2・(x^1)+2・3・(x^2)+3・4・(x^3)+・・・+n(n+1)(x^n)

T*(1-x)=2{1+2x+3(x^2)+4(x^3)+n(x^(n-1))}-n(n+1)(x^n)
=2S-n(n+1)(x^n)
=[2n(x^(n+1))-2(1+n)(x^n)+2-n(n+1){(1-x)^2}(x^n)]/{(1-x)^2}

2n(x^(n+1))-2(1+n)(x^n)+2-n(n+1){(1-2x+x^2)}(x^n)
=2n(x^(n+1))-2(1+n)(x^n)+2
-n(n+1)(x^n)+2n(n+1)(x^(n+1))-n(n+1)(x^(n+2))
=-n(n+1)(x^(n+2))+2n(n+2)(x^(n+1))-(n+1)(n+2)(x^n)+2

T(n)
=[-n(n+1)(x^(n+2))+2n(n+2)(x^(n+1))-(n+1)(n+2)(x^n)+2]/(1-x)^3
=[n(n+1)(x^(n+2))-2n(n+2)(x^(n+1))+(n+1)(n+2)(x^n)-2]/{(x-1)^3}

T(1)=[2(x^3)-6(x^2)+6x-2]/{(x-1)^3}=2
T(2)=[6(x^4)-16(x^3)+12(x^2)-2]/{(x-1)^3}=6x+2

T(x)=1・2・(x^0)+2・3・(x^1)+3・4・(x^2)+・・・+n(n+1)(x^(n-1))
F(x)=∫T(x)dx=2x+3x^2+4x^3+・・・+(n+1)(x^n)+C
∫F(x)dx=x^2+x^3+x^4+・・・+x^(n+1)+Cx+C'
　　　　　　=x^2[1+x+x^2+・・・+x^(n-1)]+(Cx+C')
　　　　　　=x^2{(x^n)-1}/(x-1)}+(Cx+C')
　　　　　　={(x^(n+2))-x^2}/(x-1)}+(Cx+C')

[(n+2)(x^(n+1))-2x](x-1)-(x^(n+2))+x^2
=(n+2)(x^(n+2))-(n+2)(x^(n+1))-2x^2+2x-(x^(n+2))+x^2
=(n+1)(x^(n+2))-(n+2)(x^(n+1))-x^2+2x

F(x)=[(n+1)(x^(n+2))-(n+2)(x^(n+1))-x^2+2x]/(x-1)^2 + C

[(n+1)(n+2)(x^(n+1))-(n+1)(n+2)(x^n)-2x+2](x-1)
-2(n+1)(x^(n+2))+2(n+2)(x^(n+1))+2x^2-4x

=(n+1)(n+2)(x^(n+2))-(n+1)(n+2)(x^(n+1))-2x^2+2x
-(n+1)(n+2)(x^(n+1))+(n+1)(n+2)(x^n)+2x-2
-2(n+1)(x^(n+2))+2(n+2)(x^(n+1))+2x^2-4x

T(x)
=[n(n+1)(x^(n+2))-2n(n+2)(x^(n+1))+(n+1)(n+2)(x^n)-2]/{(x-1)^3}
----------------------------------------------------------------------------

(1)
Σ(1,n)　(k^2)*(x^k)

x=1　Σ(1,n)　(k^2)
x≠1
Σ(1,n)　(k^2)*(x^k)
= xΣ(1,n)　(k^2)*(x^(k-1)
=x[Σ(1,n)　k(k+1)*(x^(k-1))] - x[Σ(1,n)k*(x^(k-1))]
=x(T-S)

(2)
Σ{(k+2)Ck}*(x^k)
(k+2)Ck=(k+2)C2=(k+2)(k+1)/2
x=1　　Σ(1,n)　(k+1)(k+2)/2
x≠1
(1/2)Σ(1,n) (k+2)(k+1)*(x^k)　
=(1/2)Σ(2,n+1) k(k+1)*(x^(k-1))
=(1/2)[Σ(1,n) k(k+1)*(x^(k-1))]-(1/2)*2+(1/2)(n+1)(n+2)(x^n)
=(1/2)T-1+(1/2)(n+1)(n+2)(x^n)　　....　　。

お礼

詳しい回答ありがとうございます!

回答No.5

reiman

２．は後処理不要でした。

２．
（ｘ＾２／（１－ｘ））”／２
です。

回答No.3

reiman

後処理をし忘れたので修正

１．
ｘ（ｘ（１／（１－ｘ））’）’
です。

２．
ｘ＾２（ｘ＾２／（１－ｘ））”／２
です。

補足

回答ありがとうございます。

２番目の、コンビネーションの扱いが分かりません。ヒントだけでもお願いします。

回答No.2

reiman

１．
（ｘ（１／（１－ｘ））’）’
です。

２．
（ｘ＾２／（１－ｘ））”／２
です。

回答No.1

kup3kup3

今晩は。
第n項までの和＝S_nとおく。
あとは数２か数Bの教科書をみて数３の
「数列の極限」のところをみる。
ヒント
xS_nを考えて・・・これ以上書くと削除されますので・・・
ここまで

補足

回答ありがとうございます。

等比数列の和の公式を導く方法を二回使うということで良いでしょうか？

２つ目の、コンビネーションの方が分かりません。

C=n!/{r!(n-r)!}をどうにかすると思うのですが…
ヒントだけでもお願いします。