微分

質問

こんにちは。

ある問題の途中で
df/dt=f-f^3　を変形して
df^(-2)/dt+2f^(-2)=2
となっているのですが、どのようにしてこうなるのかがわかりません。
どなたかお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

ｇ　＝　ｆ^(-2)　　と置きます。
これををｔで微分することを考えます。

すると、合成関数の微分により
ｄｇ／ｄｔ　＝　ｇ’＝　（ｆ^(-2)）’　＝　－２ｆ^(-3)・ｄｆ／ｄｔ
となります。

両辺を　－２ｆ^(-3)　で割れば
ｄｆ／ｄｔ　＝　－ｆ^3／２・ｄｇ／ｄｔ
です。
これを元の式に代入します。

－ｆ^3／２・ｄｇ／ｄｔ　＝　ｆ　－　ｆ^3
ｄｇ／ｄｔ　＝　－２ｆ^(-2)　＋　２

ｆ^(-2) ＝　ｇ　と置いていたので
ｄｆ^(-2)／ｄｔ　＝　－２ｆ^(-2)　＋　２

お礼

とてもわかりやすくありがとうございます。

回答No.2

Tiffa9900

df/dt=f-f^3
　両辺に df^(-2)/df をかける
df/dt * df^(-2)/df = f * df^(-2)/df - f^3 * df^(-2)/df
　左辺を約分して
df^(-2)/dt = f * df^(-2)/df - f^3 * df^(-2)/df
　df^(-2)/df = -2f^(-3) なので、これを右辺に代入
df^(-2)/dt = f * {-2f^(-3)} - f^3 * {-2f^(-3)}
　右辺を整理して
df^(-2)/dt = -2f^(-2) + 2
　両辺に 2f^(-2) を足す
df^(-2)/dt + 2f^(-2) = 2

のような気がする。
参考になれば幸いです。

補足

ありがとうございました。大変参考になりました！