• 締切済み

問題が解けずに困っています。

代数学の問題がわからないので教えてください。 Ｘ，Ｙを集合,ｆ:Ｘ→Ｙを写像とする。同値であることを示せ。 (ⅰ)ｆは１対１(injective)である。 (ⅱ)∀Ａ,Ｂ⊂Ｘについて,ｆ(Ａ∩Ｂ)＝ｆ(Ａ)∩ｆ(Ｂ) (ⅲ)Ａ⊂Ｘならばｆ^-1(ｆ(Ａ))＝Ａ 証明の仕方が根本的にわかっていません。 詳しく教えてくれたら嬉しいです。 宜しくお願いします。

みんなの回答

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.1

(ⅱ)(ⅲ)は、f( ) を集合写像として扱っていますが、 これを、もとの写像 f( ) として扱うように、 f(a) の a が集合 Ｘ の元であるような文章で書き換えて みましょう。f(Ａ) という記号の意味がわかっていれば、 できるハズです。 そうすると、(ⅰ) との関係が見やすくなると思います。

y_h_o6o9
質問者

お礼

ありがとうございます。 返事が遅くなってすみませんでした。 意見を参考に頑張って解いてみます。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 位相空間の問題なんですが…

    （Ｘ，ｄ）距離空間とし、Ｘ＝Ａ∪Ｂにおいて 連続写像　ｆ：（Ａ，ｄ）→（Ｙ，ρ） 　　　　　ｇ：（Ｂ，ｄ）→（Ｙ，ρ）であり 写像　ｈ：（Ｘ，ｄ）→（Ｙ，ρ） 　　　　　　ｆ（ｘ）　if　ｘ∈Ａ ｈ（ｘ）＝｛　　　　　　　　　　　　　と定義する。 　　　　　　ｇ（ｘ）　if　ｘ∈Ｂ　　　　　　 このときＡ、Ｂ共に（Ｘ，ｄ）の開集合（閉集合）ならば、ｈは連続であることを証明せよ。 という問題です。わかる方、証明のアイデアだけでも結構です。宜しくお願いします。

  • 訳の分からない問題に当たってしまって困っています

    「任意の写像 f:X→Y と部分集合 A⊆X , B⊆X に対し、f(A＼B) ⊇ f(A) ＼ f(B)」を証明する問題があったのですが、手元の教科書を見ても、解答がありませんし、インターネットのサイトを回っても、一向に見付かりません。自分で証明しようとしても、結局分からずに詰まってしまいます。 もし、この証明が書いてあるサイト等があったら、アドレスを教えていただけないでしょうか？ もしなかったら、せめてヒントだけでもお願いします。

  • 集合の問題

    集合Aから集合Bへの写像f:A→Bが与えられているとする。 Aの2元a,bについてf(a)=f(b)のときa～bと定義すれば、 関係～が同値関係であることを示せ。 さらにfが全射であれば同値類集合A/～と集合Bは対等であることを示せ。 前半はいいのですが後半がいまいちわかりません。 以下のように示したのですがどうでしょうか？ X/～={[x]|x∈X},[x]={y∈X|x～y即ちf(x)=f(y)} これよりg:A/～→B:g([x])=f(x)が全単射かつwell-definedであることを示す。 (well-defined) [x]=[x']とする。この時∀y∈Xについて y∈[x]とすればf(y)=f(x)=f(x')となるのでg([x])=g([x']) よってgはwell-defined (全射) ∀y∈Bとするとfが全射であるから∃x∈A s.t. f(x)=y これよりx∈[x]だから∃[x]∈A/～となるのでgも全射となる。 (単射) g([x])=g([y])⇒f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]がいえる。 其の逆も言えるので[x]=[y]

  • 集合の問題！

    集合の基礎的な問題です。 わからなくてかなり困っています！ 明日テストがあるので、これらの問題をどうしても理解したいです。 自分で解いてみたのですが、以下のことくらいしかわかりませんでした。 たぶん証明を見れば理解できると思うので、至急回答お願いしたいです。 よろしくお願いします！！>< ＜問題＞ 問１：FがΩの集合体であるとき、次を示せ。 (1)Ω∈F (2)A,B∈Fならが、A⊂B,A＼B,AΔB∈F (3)A1,A2,…,An∈Fならば、∪(i=1,n)Ai,∩(i=1,n)Ai∈F 問２：集合X,Yの濃度が同じである、すなわちX～Yは同値関係であることを示せ。 問３：ベルンシュタインの定理を用いて、次を示せ。 (1){x｜0＜x≦1}～{x｜0≦x≦1} (2){(x,y)｜0＜x≦1,0＜y≦1}～{x｜0≦x≦1,0≦y≦1} (3)a＜bであるとき、[a,b]～R^2 (4)a＜bであるとき、[a,b]～D　但し、D⊂R^2でDは少なくとも１つの内点をもつ。 問４：Fをσ集合体とするとき、以下を示せ。 A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈Fとするとき 　　　(i)∩(i=1,∞)Ai∈F 　　　(ii)lim(n→∞)supAn∈F ※問４は記述がわかりづらいですが、A1から始まる無限大の和集合がFに含まれる、(i)はA1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。問１の(３)の記述も同じくです。 ＜考えたもの＞ 問２：X～Yということから濃度の定義より、XとYの間には全単射がX→Yが存在する。その上で、反射律・対称律・推移率を示せばよい。 という考えまでは至ったんですが、やってみようとしてもここからの証明の仕方というか記述の仕方がわかりません… 問４：（ii)は、lim(n→∞)supAn∈F＝∩(i=1,∞)(∪(i=1,∞)Ai)：上極限集合 なので、これがFに含まれることを証明すればいいんだろうとは思うのですが記述の仕方がいまいちわかりません。(i)もどのように記述していけばよいのでしょうか？ 問１、問３は証明の見通しが立ちません…。 特にこの２つがわからないです。

  • 集合と写像

    集合と写像に関する証明で，そうなるということはわかっているのですが，どのように証明すれば良いかわかりません。 問題は 集合Ｘから集合Ｙへの写像f:X→Yによる像に関して，以下を示せ。 (1) 任意の部分集合A,B⊂Xに対して，f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) (2) fが単射であるならば，任意の部分集合A,B⊂Xに対して， 　　f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つ (3) Xの任意の部分集合A,B⊂Xに対して，f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つならば 　　fは単射である。 どなたか解説お願いします。

  • 集合の問題です

    集合Aから集合Bへの写像fについて、Bの各要素yについてf(ｘ)=y となるAの要素xが必ずある場合に、fをAからBの上への写像とよぶ。 たとえば、A＝{1,2,3,4,5}、B＝{a,b}のとき、f(1)=f(2)=f(5)=a , f(3)=f(4)=b とする 写像fはAからBの上への写像であるが、g(1)=g(2)=g(3)=g(5)=bとする写像gはg(x)=aとなるA要素xがないので、AからBの上への写像ではない。 問１ {1,2,3,4,5}から{a,b}への写像は全部で何個ありますか。 問２ {1,2,3,4,5}から{a}の上への写像は全部で何個あるか。また{1,2,3,4,5}から{b}の上への写像は全部で何個あるか。 問３ {1,2,3,4,5}から{a,b}の上への写像は全部で何個あるか 宜しくお願いします

  • 濃度の基礎的な問題について

    集合の濃度を勉強しているのですが、理解できなくて困っています。 数日中の課題提出なのでもう一度一からやり直しているのですが、特に証明問題がわかりません… おそらく基礎的な問題だと思うんですが、わかる方いましたら教えてください！;； １．A,Bが集合であるとき、A～Bは同値関係であることを示せ。ただし、AとBの間には全単射があるとする。 ２．集合X,Yの濃度が同じである、すなわちX～Yは同値関係であることを示せ。 ３．ベルンシュタインの定理を用いて、次を示せ。 (1){x｜0＜x≦1}～{x｜0≦x≦1} (2){(x,y)｜0＜x≦1,0＜y≦1}～{x｜0≦x≦1,0≦y≦1} (3)a＜bであるとき、[a,b]～R^2 (4)a＜bであるとき、[a,b]～D　但し、D⊂R^2でDは少なくとも１つの内点をもつ。 (1)(2)は、反射律・対称律・推移律を示して証明すればいいのはわかるのですが、記述の仕方というか方法がわかりません。これは何か具体例をあげて書くのでしょうか…？

  • 集合の証明問題です。分からなくて困っています。

    f:X→Yについて、 A,B⊂Xのとき、f(A∪B)⊂f(A)∪f(B)を示せ。という問題で、示し方が分からなくて困っています。 集合に関する問題は全般的に苦手です。。 できれば、証明の仕方について詳しく教えてほしいです。 よろしくお願いしますm(_ _)m

  • 集合の問題で分からない問題があります。

    集合の問題で分からない問題があります。 どれだけ考えても証明の仕方がわからないので、教えていただけると助かります。 問.(Ｍ×Ｎ)＼（Ａ×Ｂ）＝((Ｍ＼Ａ)×Ｎ)∪(M×(N＼Ｂ))を示しなさい（「＼」は差集合） 問.f:X→Ｙに対して、fが単射のとき、Ａ、Ｂ⊆Ｘに対して f(A∩Ｂ)＝f(A)∩f(B) が成り立つことを示しなさい。

  • 集合論の問題です。

    集合論の問題です。 同値関係が分かるようになりたいので、 よろしくお願いします。 Ｒ＾２の関係～を以下で定義。 （x,y）, （x',y'）∈R^2に対して、 x-x'∈Ｚ and y-y'∈Ｚ なるとき、 （x,y）～（x',y'）と表す。 この同値関係による同値類すべての集合をＡと表し、 (x,y)∈R^2の同値類を[x,y]とあらわす。 a,b,c,d∈Zのとき、 f( [x,y] ) = [ax+by, cx+dy] （[x,y]∈Ａ） によってｆ：Ａ→Ａが well-definedに定義できることを示せ。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する