スカラー３重積

質問

a(b×c)=b(c×a)=c(a×b)
を行列式を使って証明するにはどうしたらよいのでしょうか？？
内積を行列式で表すことはできるのでしょうか？？

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

>厚かましいですが、
a×b=i j b
a1 a2 a3
b1 b2 b3
とあらわされることを用いて証明しろ、と教科書にはあったのですがこれはどうしたらよいのでしょうか？？

回答　おはようございます。
前のように「^t」で行列の「転置」を表すとします。
3次元空間R^3で、
a=(a1,a2,a3)^t,b=(b1,b2,b3)^tとします。
a=(a1,a2,a3)^tを縦ベクトルとして、
まず、i,j,kは単位べクトルで、そのうちの成分が次の特別なものです。
つまり、i=(1,0,0)^t，ｊ＝(0,1,0)^t,k＝(0,0,1)^tとします。
i,j,kは基本ベクトルといい、iはx軸の正の向きと平行な方向、
ｊはy軸の正の向きと行な方向、kはz軸の正の向きに平行な方向を
向いています。（そして、i,j,kの順に「右手系」をなしています。）
さて、そうすると任意の3次元空間R^3のベクトルは、
a=(a1,a2,a3)^t=(a1,0,0)^t＋(0,a2,0)^t＋(0,0,a3)^t
=a1(1,0,0)^t＋a2(0,1,0)^t＋a3(0,0,a3)^t
=a1*i+a2*j+a3*k

つまり、一般に　a=(a1,a2,a3)^t=a1*i+a2*j+a3*k　・・・(#1)
　とできます。[*］はスカラ－倍です。
このことは縦ベクトルとして書けばすぐ分かると思います。
よって、
a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)^t
　　=(a2b3-a3b2)*i＋(a3b1-a1b3,a1b2)*j+(a1b2-a2b1)*k
　・・・(#２)となります。
そこで(#２)を、
a×b=i*(a2b3-a3b2)＋j*(a3b1-a1b3,a1b2)+k*(a1b2-a2b1)
　　=i*|a2 a3| +j*|a1 a3| +k*|a1 a2|
　 　 |b2 b3| 　 |b1 b3|　 　|b1 b2|
と、記号的に思えば
とすれば
a×b= |i j k|
　　　 |a1 a2 a3|
　　　|b1 b2 b3|　なります。
この式は「外積」の式が複雑なので[外積a×b]の暗記法として
知られています。これがもう一人の方の回答にあるものです。
これは、正方行列Ａについて、det(Ａ^t)=detＡから、の特別な場合、つまり
|a1 b1 c1|　|a1 a2 a3|
|a2 b2 c2|=|b1 b2 b2|
|a3 b3 c3|　|c1 c2 c3|　からいえることです。

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。3次元空間で、ベクトルa,b,cを縦ベクトルとして、
a=(a1,a2,a3)^t,b=(b1,b2,b3)^t,c=(c1,c2,c3)^t として、
b×c=(b2c3-b3c2,b3c1-b1c3,b1c2-b2c1)^t です。
ここで、^tは転置を表わすこととします。
そこで
a=(a1,a2,a3)^tとb×cとの内積は
(a,(b×c))=a1(b2c3-b3c2)+a2(b3c1-b1c3)+a3(b1c2-b2c1)
=a1|b2 c2| +a2|b3 c3| +a3 |b1 c1|
　 |b3 c3| 　 |b1 c1|　 　|b2 c2|
　|a1 b1 c1|
= |a2 b2 c2|
　|a3 b3 c3|　右辺は行列式のつもりです。
　つまり、内積　a(b×c)は
　　　　　　　　 |a1 b1 c1|
　　　a(b×c)　= |a2 b2 c2|
　　　　　　　　 |a3 b3 c3|
　　　となります。あとも同様になるので
　行列式で2列を互いに交換すると符号「ー」がつく
　ということで証明できます。

お礼

回答ありがとうございます。理解できました！
厚かましいですが、
a×b=i j b
a1 a2 a3
b1 b2 b3
とあらわされることを用いて証明しろ、と教科書にはあったのですがこれはどうしたらよいのでしょうか？？

回答No.1

proto

内積を行列式を用いて書く、

(i,j,k)をそれぞれx,y,z方向の単位ベクトルとして、まとめてEと書く。
E,a,bを並べて3x3の行列を作る。
行列式をdetと書くと
　　a×b = det(E,a,b)

行列式を展開して、それぞれの単位ベクトルごとに整理すれば内積のx方向の成分、y方向の成分、z方向の成分がわかる。