複素関数論についての質問

質問

現在、複素関数にかんしての勉強をしているのですが
３つほど質問があります。

まず、複素関数を利用して解ける定積分というのは積分範囲が∞～-∞のものに限るのでしょうか？

教科書では、∫[∞～-∞](1/(x^2 + a^2) dx
a>0

の計算をする問題で、特異点がaiと-aiの２つあるにも拘わらず
+aiの周りでしか周回積分していないのですが
なぜなのでしょうか？
出てくる特異点全ての周りで回す必要はないのでしょうか？

特異点が２つある場合で１つだけ回す場合と２つ回す場合は実空間でいうとどういうことをしていることに対応するのでしょうか？

何卒よろしくお願い致します。

回答No.1

rabbit_cat

まず、なんで複素（周回）積分で、もとの定積分が計算できるか理解していますか？
コーシーの積分公式、ジョルダンの補題…など

＞複素関数を利用して解ける定積分というのは積分範囲が∞～-∞のものに限るのでしょうか？
そうだと簡単になることが多いですが（ジョルダンの補題にあてはまるので）、別にそうでない場合にも適用できます。

＞特異点がaiと-aiの２つあるにも拘わらず+aiの周りでしか周回積分していないのですが
まずは、定積分が複素周回積分に置き換わっているのか原理をきちんと理解するとよいのでは。