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複素関数論は何が美しいのか

 応用数学としての関数論を勉強中です。飛ばし読みではありますが、複素積分を利用して実関数の積分をするところまでなんとかたどり着きました。  さて、関数論は美しい数学であるということをよく聞かされたのですが、急いで読み過ぎたせいか、関数論の美しさに感動できるところまで至っていません。オイラーの公式から導かれる   e^(iπ) + 1 = 0 ・・・・・(#) は、もちろん関数論の本を読む前から知っていましたが、この等式を知ったときの驚きを上回る感動を今のところ感じることができません。  たとえば等角写像などは関数論では美しさはもちろん、おもしろさもさっぱりわかりませんでした。流体力学の本で等角写像を応用したジューコウスキー変換というものを知って、そのおもしろさがようやくわかり、感心もしましたが、感動するところまではいきませんでした(笑)。  また、実関数ではテイラーの定理を経由しないと(剰余項を調べないと)テイラー展開できませんが、複素正則関数はコーシーの積分公式から直接テイラー展開を導けるため、テイラーの定理が複素関数の場合不要になることなど、実におもしろいとは思いましたが、やはり (#) を初めて知ったときのような感動は味わえませんでした。  関数論のどこらあたりを精読すれば、よりおもしろく感じたり、数学美というものを感じることができるでしょうか?  どういうことを「美」と感じるかは個人差が大きいとは思いますが・・・・・

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始めに、小生数学専攻者ではない事をお断りした上で・・! (元!)工学屋にとって、専ら複素関数論は初等関数の本質的な取扱をしていく上で有力な武器になり得るという事で、極めて有効な方法を提供してくれる手段として利用価値の高い物であるとの認識を持っている・・! (小生の場合) 例えば、留数の理論を用いる事によって整数論における「ガウスの和」の公式を導き出す事が出来るなど、意外な応用にも利用出来るんだなと感心した・・! まぁ、こんなところ・・!

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質問者からのお礼

> 留数の理論を用いる事によって整数論における「ガウスの和」の公式を導き出す事が出来る。  貴重なご意見ありがとうございました。深く感謝いたします。

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