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いろいろな数列(2)
kumipapaの回答
(ご質問) > なぜ、n-2項までなのにn-1項になっているのでしょうか・ (補足より) > Sn={1-x^(n-1)}/(1-x)になりました。 > かけられている1がでてきません。 なかなか面白いご質問だと思います。正直笑えましたが、学習し始めのころにはありがちな疑問なのかもしれません。ただ、もう少し基本的なところをきちんと把握するようにしましょう。 今回の質問者さんの問いを「かけて引いてという操作」で求めれば、 Sn = 1 + x + x^2 + ... + x^(n-2) x Sn = x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-2) + x^(n-1) (1 - x) Sn = 1 - x^(n-1) ・・・ (*) Sn = (1 - x^(n-1)) / (1 - x) 等比数列の和の公式を、同じように導出してみましょう。 Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) r Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) + ar^n (1 - r) Sn = a - a r^n = a (1 - r^n) ・・・ (**) Sn = a (1 - r^n) / (1 - r) (*) と(**) を比較してみましょう。(**)では初項 a が共通因数としてくくり出されていますが、(*) では、初項が 1 なのでくくりだす意味がないからくくり出していない。だから、「かけられている1がでてきません」ということになり、出てこなくて当然です。公式なんかに真面目にあてはめるから(っていうと身も蓋もないけど)1×が出てきてしまうだけです。 また、公式は、 Sn = a (1 - r^n) / (1 - r) であり、初項×(1-公比^項数)/ ( 1-公比)と覚えるでんしょうが、これは結果をそう解釈しただけの話ですね。しかし、公式の導出過程の式 (**) で計算されている a - a r^n というのは、Sn - r Sn の結果ですが、そいつは、(Sn の中の初項- r Sn の中の末項)であり、数列の、 初項(a) - 末項(a r^(n-1))×公比(r) ですね。式の展開を素直に読むとこう読める。ですから、和 Sn は、(初項 - 末項×公比)/ (1-公比)です。こういう捉え方をしても良いわけで、そうすると項数を意識せずに公式を使えます。初項をくくり出した方がよければ、後からくくりだせばよい。 まあ、今回の質問は初項が 1 ( = x^0) で x^(n-2) までの和ですから、項数は x^0 から x^(n-2) までの (n - 1) 項だと分かって、そのまま公式を使えるようになりたいのですが。 とにかく、公式を丸暗記して良しとしないことです。 もし、混乱したら、公式の導出に戻りましょう。そうすることによって、公式をより理解することができるようになると思います。
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