いろいろな数列(2)

質問

こんばんは。
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

次の数列の和を求める問題です。
1・x, 3・x^2, 5・x^3, 7・x^4,・・・,(2n-1)・x^n (x≠1)

私はx+2x^2{1+x+x^2+・・・+x^(n-2)}-(2n-1)x^(n+1)
まで解けて
1+x+x^2+・・・+x^(n-2)=[1・{1-x^(n-1)}]/(1-x)
のところがわかりませんでした.
なぜ、n-2項までなのにn-1項になっているのでしょうか・

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

（ご質問）
＞　なぜ、n-2項までなのにn-1項になっているのでしょうか・
（補足より）
＞　Sn={1-x^(n-1)}/(1-x)になりました。
＞　かけられている1がでてきません。
なかなか面白いご質問だと思います。正直笑えましたが、学習し始めのころにはありがちな疑問なのかもしれません。ただ、もう少し基本的なところをきちんと把握するようにしましょう。

今回の質問者さんの問いを「かけて引いてという操作」で求めれば、
Sn = 1 + x + x^2 + ... + x^(n-2)
x Sn = x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-2) + x^(n-1)
(1 - x) Sn = 1 - x^(n-1)　　　・・・ (*)
Sn = (1 - x^(n-1)) / (1 - x)

等比数列の和の公式を、同じように導出してみましょう。
Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)
r Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) + ar^n
(1 - r) Sn = a - a r^n = a (1 - r^n)　　　・・・ (**)
Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)

(*) と(**) を比較してみましょう。(**)では初項 a が共通因数としてくくり出されていますが、(*) では、初項が 1 なのでくくりだす意味がないからくくり出していない。だから、「かけられている１がでてきません」ということになり、出てこなくて当然です。公式なんかに真面目にあてはめるから（っていうと身も蓋もないけど）１×が出てきてしまうだけです。

また、公式は、
Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)
であり、初項×（１－公比^項数）/ ( １－公比）と覚えるでんしょうが、これは結果をそう解釈しただけの話ですね。しかし、公式の導出過程の式 (**) で計算されている a - a r^n というのは、Sn - r Sn の結果ですが、そいつは、（Sn の中の初項－ r Sn の中の末項）であり、数列の、 初項(a) - 末項(a r^(n-1))×公比(r) ですね。式の展開を素直に読むとこう読める。ですから、和 Sn は、（初項 － 末項×公比）/ （１－公比）です。こういう捉え方をしても良いわけで、そうすると項数を意識せずに公式を使えます。初項をくくり出した方がよければ、後からくくりだせばよい。
まあ、今回の質問は初項が 1 ( = x^0) で x^(n-2) までの和ですから、項数は x^0 から x^(n-2) までの (n - 1) 項だと分かって、そのまま公式を使えるようになりたいのですが。

とにかく、公式を丸暗記して良しとしないことです。
もし、混乱したら、公式の導出に戻りましょう。そうすることによって、公式をより理解することができるようになると思います。

お礼

ありがとうございました☆
とっても参考になりました！！

回答No.3

debut

1+x+x^2+・・・+x^(n-2)　は、初項１、公比ｘの等比数列の
ｎ－１項までの和です。
（１が第１項、ｘが第２項、ｘ^2が第３項・・・とｘの指数部分
　と項数を比べてみてください。項数は指数部分＋１になって
　いますよね。だから、ｘ^(n-2)なら第ｎ－１項となります）
よって、等比数列の和の公式：a(1-r^n)/(1-r)から
[１・{１－ｘ^(n-1)}]/(1-x)　です。

お礼

ありがとうございました☆
とっても参考になりました！！

回答No.2

merarue

わざわざ1を書いてある意味は別な算出方法に依るものでしょうが、私にはわかりかねます。ごめんなさい。

　(x-1)(1+x+x^2+・・・+x^n) = x^(n+1) -1
を既知とした回答であってもせいぜい
　1+x+x^2+・・・+x^(n-2) = {1/(1-x)}{1-x^(n-1)}
と表記するくらいかなと思います。

先述の解法がオーソドックスだと思われるのであれば、特にこだわる必要はない（と逃げ口上をうってしまいました）。

お礼

ありがとうございました☆
とっても参考になりました！！

回答No.1

merarue

1・x, 3・x^2, 5・x^3, 7・x^4,・・・,(2n-1)・x^n (x≠1)
はｘを掛けて引くという操作から出たんですよね。

1+x+x^2+・・・+x^(n-2)
に対しても　同じことをやってみては　いかがでしょうか

お礼

ありがとうございます、
わからないところがあったのでよろしくお願いいたします。

補足

ありがとうございます。
同じようにやってみましたら、
Sn={1-x^(n-1)}/(1-x)になりました。

かけられている1がでてきません。
どうしたらよいでしょうか