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等差数列の和を利用・・？
kumipapaの回答
うーん、やはり数列を使えばよいと思います。 質問者さんがおっしゃるとおり、 Σ[i=1,n]P(i) = (n^2 + (2a - 1)n )/2 = 100 → n^2 + (2a - 1)n - 200 = 0 を解けばよいのでしょう。 n = 0 のとき 左辺 ＜ 0 より、この方程式は正の数と負の数を解に持ちます。 また、解と係数の関係より、2つの解を p, q とすれば、 p + q = 1 - 2a ← 整数 pq = -200 ← 整数 ですから、解の一方が整数ならば他方も整数です。 pq = -200 より、p, q の組み合わせは、とりあえず符号を無視して (1,200), (2, 100), (4, 50), (5, 40), (8, 25), (10, 20) また、p + q = 1 - 2a より、二つの解の和（上の組み合わせから考えるなら二数の差）は奇数だから絞り込んで (1,200), (5, 40), (8, 25) ここから 整数 a (≧0) が最小になるように p, q の組み合わせを選べば、8 と -25 そのとき、 1 - 2a = -17 a = 9 n = 8 P(i) = 9 + i - 1, i=1,2,...,8 ΣP(i) = 8 × (9 + 16) / 2 = 100 かなあ。 a が最小という条件が無ければ、 a = 9, n = 8 a = 18, n = 5 a = 100, n = 1 の 3 通りということでしょう。 もうちょっとスマートな考え方もあるような気がします。
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