等差数列の和を利用・・？

質問

こんにちは。確率（情報量）の問題で分からないものがあるのでお願いします。
問.
n個の事象Ｅ(i)【i=1～n】の生起確率をP(i)とするとき、
P(1)=a%
P(i)=P(i-1)+1%
とする。このとき生起確率の和が100%になるためには、最小の整数aとそのときのnをいくらにすればよいか。
【（）内の文字、数字は小文字です】

私は、この問題を解くときに、
P1=a
P2=a+1
P3=a+2
・
・
の関係から、等差数列を使うのかなと思い、初項a公差1で
S(n)={n^2+(2a-1)n}/2
これが100％になるときなので、{n^2+(2a-1)n}/2＝100という式を立てたのですが、
ここから最小の整数aとその時のnをどう求めていいか分りません。
そもそも数列を使用するべき問題なのかの自信もありません；

どなたかご指導お願いいたします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

うーん、やはり数列を使えばよいと思います。
質問者さんがおっしゃるとおり、
Σ[i=1,n]P(i) = (n^2 + (2a - 1)n )/2 = 100
→ n^2 + (2a - 1)n - 200 = 0
を解けばよいのでしょう。
n = 0 のとき　左辺 ＜ 0 より、この方程式は正の数と負の数を解に持ちます。
また、解と係数の関係より、2つの解を p, q とすれば、
p + q = 1 - 2a　　　←　整数
pq = -200　　　　　　←　整数
ですから、解の一方が整数ならば他方も整数です。
pq = -200 より、p, q の組み合わせは、とりあえず符号を無視して
(1,200), (2, 100), (4, 50), (5, 40), (8, 25), (10, 20)
また、p + q = 1 - 2a より、二つの解の和（上の組み合わせから考えるなら二数の差）は奇数だから絞り込んで
(1,200), (5, 40), (8, 25)
ここから 整数 a (≧0) が最小になるように p, q の組み合わせを選べば、8 と -25
そのとき、
1 - 2a = -17
a = 9
n = 8

P(i) = 9 + i - 1,　i=1,2,...,8
ΣP(i) = 8 × (9 + 16) / 2 = 100

かなあ。
a が最小という条件が無ければ、
a = 9, n = 8
a = 18, n = 5
a = 100, n = 1
の 3 通りということでしょう。
もうちょっとスマートな考え方もあるような気がします。

お礼

お礼が大変遅くなってしまい申し訳ありません。
すごく分り易くて、一番理解できた解法でした。
確かにもうちょっとスマートに出せるのかもしれませんが、
十分納得できました。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#101087

>S(n)={n^2+(2a-1)n}/2
>これが100％になるときなので、{n^2+(2a-1)n}/2＝100という式を立てたのですが、
>ここから最小の整数aとその時のnをどう求めていいか分りません。

まずは、
　　二次方程式 : n^2 + (2a-1)*n - 200 = 0
が整数解をもつときの最小 a(<100) を求めよ、ということなのでしょうね。

Excel を使って求めることはできました。一桁の整数です。
(判別式を勘定し、結果が平方数になるものを探す、という腕力まかせですが..... )

お礼

お礼が大変遅くなってしまい申し訳ありません。
そうですね・・エクセルで確かめるのも1つですね。
今回は手計算でだしたかったので；

でもアドバイス、ありがとうございました。

回答No.1

774danger

aって整数なんでしょうか?
0もしくは自然数じゃないと、負の値も含んで確率-10%とか存在しちゃうんですが.........

あまりスマートな解き方ではないかもしれませんが、

aを0もしくは自然数とすると
・a=0(最小値)でもS(n)=100が成り立つとすると、n≦14である必要あり......(1)
また、最後に導かれた式をa=の式にうまく変形すると、以下のどちらかの条件を満たす必要があることが見えてきます
・nは奇数かつ100の公約数......(2)
・nは偶数かつ8の倍数......(3)
(1)の条件下で(2)もしくは(3)を満たす自然数nは限られていますので当てはめていけば.........

もっとカッコいい解き方もあるのでしょうけど

お礼

お礼が大変遅くなってしまい申し訳ありません。

私もあたりをつけて求めていく方法しか考えられなかったのですが、
その中ではすごくスマートな解法でした。
ありがとうございました。