誘電体球の分極電荷密度について

質問

半径aの誘電体球(線形常誘電体 P = ε0 χ E)の中心に電荷 q (>0)をおいた。この場合の電気分極を求め、分極電荷密度を求めよ。
という問題なんですが
ρp = -∇・P=-∇・ε0 χ E=０という誤った答えになってしまいます。
よろしければどこが間違っているのかと詳しい計算式を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　ρp = -∇・P=-∇・ε0 χ E
は分極電荷の【体積密度】と与える式です．
で，ゼロになるというわけですが，
これは誘電体中(中心を除く)および誘電体外側(つまり真空中)では間違っていません．
ただし，誘電体中心と誘電体表面ではちょっと難しいことになります．
誘電体中心と誘電体表面では電場の E が不連続にジャンプしますから，
そこでの微分(∇)をどうするかが問題です．
δ関数をご存知なら，それを使う．
あるいは積分形にしてガウスの法則を使う，というのがよろしいでしょう．

今の問題では，分極電荷は中心と誘電体表面にのみ存在します．
前者は１点のみ，後者は面のみ，ですから，
無理に体積密度というなら無限大になってしまいます．

お礼

この場合はρp = -∇・P=-∇・ε0 χ Eの式は使わないほうがいいんですね。詳しい説明ありがとうございます。助かりました。