電位と電荷密度

質問

球座標系で表される電位φ
φ(r)=(q/4πε0)×{exp(-r/a)}/r
がある．ただし，rは動径，ε0は真空誘電率，qは電荷，aは基準長さである．
(1)この電位を作る電荷密度分布ρ(r)をr＞0の範囲で求めよ．
という問題があります．これは，φをrで微分して電界Eを求め，そこからρを求めるという方法であっていますでしょうか？私の計算ではρ=(3q/4π)×{exp(-r/a)}/r^2×(1/r＋1/a)となりました．

(2)(1)で得たρを，r = 0を除く全空間で積分し，総電荷Qを求めよ．という問題では，積分範囲は何から何までにすればいいのでしょうか？
また，(3)r = ∞の球表面における電束を求めることにより，原点r = 0にどのような電荷があるか求めよ．という問題も，どのように考えたらいいのか全くわからなくて困っています．よろしくお願いします．

回答No.6

hene

(1)E = -gradφ
なので
ρ/ε0 = div E = -Δφ（ポアソンの方程式）
です。これを解く、という題意でしょう。極座標では
Δφ(r) = (1/r^2)(∂/∂r)r^2(∂/∂r)φ(r).

(2)#1のアドバイスのようにすると良いと思います。
これは積分範囲の下限を極限にとる意味で、広義積分と理解できます。
広義積分は高木貞治さんの解析概論に書いてあったと思います。

(3)無限遠方でポテンシャルは0、電束密度も0なので、ガウスの定理から全空間の総電荷は0です。そこで、原点にある電荷が(2)で計算した総電荷を打ち消しているはずだ、という論理で考えてほしいのだと思います。
原点だけにある電荷は(2)の広義積分には効きません。
電荷密度が無限大のδ関数です。

補足

ありがとうございます．
ポアソンの方程式を解いてみたところ，
ρ＝－q/(4πa^2)×exp(-r/a)/r
となりました．これから総電荷を求めるためにρ×4πr^2を0～∞までで積分しようと思ったのですが，∞/exp(∞/a)となる項ができてしまいます．このような不定形の形を計算する方法はあるのでしょうか？それとも私の計算間違いでしょうか？

回答No.5

eatern27

＞全空間で積分するということは，ρに体積をかける必要はないのですか？？

積分というのは、要するに、「積分領域を細かく分割して全部足す」という事です。

今の場合、
1.全空間を細かい微小領域に分割
2.各微小領域について、微小領域内の電荷＝微小領域内の電荷密度ρ×微小領域の体積　を計算(←ρに体積をかけてます)
3.全ての微小領域について、2番で求めた電荷を足し合わせる(全ての微小領域内の電荷を足せば、総電荷になりますよね)
のようなイメージで、全空間の総電荷を求めている事になります。

回答No.4

endlessriver

＞q(r)=dQ/dr
Q(r)は半径rの球内の全電荷です。それを微分すると球殻の電荷密度になります。こんな具合です。
ΔQ/Δr={Q(r+Δr)-Q(r)}/Δr

ρは空間の電荷密度のようですからρ(r,θ,φ)=q(r)/(4πr^2)の関係にあります。ρから電荷を求めるとき勿論体積を掛ける必要があります。

でも、ここでの問題は球対称ですからガウスの法則を使って球殻の電荷密度を求める方が簡単なのです。積分する時のdrとq(r)には球殻の表面積4πr^2がすでに掛けてあり、結局、体積を掛けていますので心配無用です。

独り言。原点の電荷を求めるなら難しくしないでもQ(0)でよいのだが。

回答No.3

eatern27

＞＞ρ=-ε∇^2φ=-q/4π (1/r) (∂/∂r)^2 exp(-r/a)
＞で，(1/r)は微分しなくていいのですか？？

∇^2＝∂^2/∂r^2＋(角度方向の微分)
だと思ってしまうと、1/rを微分の外に出した形になってますが、
∇^2≠∂^2/∂r^2＋(角度方向の微分)
なので、1/rを微分の外に出したわけではありません。

ラプラシアンを極座標で表示すると、
∇^2＝1/r (∂^2/∂r^2) r+ 角度方向の微分
の形になるので、今の場合、
∇^2φ=(1/r)(∂^2/∂r^2)rφ
になります。

＞また，(2)で，ρを微分するとなぜ総電荷になるのですか？
質問の意味が分かりません。何処に「ρを微分すると、総電荷になる」という事が書いてあったのですか？(ρを全空間で積分すると、総電荷になります)

補足

すいません．ρを積分するとなぜ総電荷になるのですか？の間違いです．全空間で積分するということは，ρに体積をかける必要はないのですか？？

回答No.2

endlessriver

(1)の方法論は合っているようですが計算が違うようです。
球対称なのでEr=-dφ/dr.ガウスの法則により
Q(r)=ε0∫ErdS=ε0・4π(r^2)Er
Q(r)は半径rの球体に含まれる全電荷です。
したがって、q(r)=dQ/dr

(2)積分範囲はr=０～ ∞でよいです

(3)ガウスの法則は右辺の積分は電束を求めておりこれが積分閉曲面内にある電荷の総和に等しいといっています。

したがって(3)-(2)の電荷を計算しろと言っているようです。

補足

＞q(r)=dQ/dr
とありますが，どのような意味でしょうか？qとは電荷ですか？また，(2)で，ρを微分するとなぜ総電荷になるのですか？ρに体積をかけなくてもいいのですか？基本的なことでしたらすいません．教えていただきたいです．

回答No.1

eatern27

(1)
>これは，φをrで微分して電界Eを求め，そこからρを求めるという方法であっていますでしょうか？
方針はあってますね。

でも、マクスウェルの方程式と、電位の定義から、
∇^2 φ=-ρ/ε
が成り立ちます。φはrにしかよらないので、∇^2の角度方向の微分は消えて、
ρ=-ε∇^2φ=-q/4π (1/r) (∂/∂r)^2 exp(-r/a)
となるはず(この微分はめちゃくちゃ簡単に計算できる)です。だから、
＞ρ=(3q/4π)×{exp(-r/a)}/r^2×(1/r＋1/a)
は間違っていそうです。(私が間違ってるのかもしれませんけど)
計算があやしそうなところは、divEの計算ですが、どうやって計算しました？(∂E_r/∂rではないです)

(2)
ε>0に対して、εから∞まで積分して、ε→+0とするとか。

(3)
電場を半径Rの球面で積分して、Ｒ→∞としてみるとか。

補足

回答ありがとうございます．間違って計算していたことに気づきました．上の説明で気になるところがあります．
＞ρ=-ε∇^2φ=-q/4π (1/r) (∂/∂r)^2 exp(-r/a)
で，(1/r)は微分しなくていいのですか？？