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分極Ｐ 誘電体 電界
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穴の中心を原点とする球座標(r,θ,φ)を使って考える． 対称性より求める電場はz軸方向以外の成分を持たない． 一様分極Pによって穴の表面に現れる電荷の面密度 σ は， 穴の表面の外向き(誘電体側を内側として)法線ベクトルを n として， σ = n・P = -P cos θ. 穴の表面の微小面積素は dS = r^2 sin θ dθ dφ. σ dS が穴の中心につくる電場のz成分は dE = σ dS/(4πε0) (-cos θ)/r^2 = -P cos θ r^2 sin θ dθ dφ/(4πε0) (-cos θ)/r^2 = P/(4πε0) cos^2 θ sin θ dθ dφ. これを積分して E = ∫dE = P/(4πε0) ∫[0,2π] dφ ∫[0,π] dθ cos^2 θ sin θ = P/(2ε0)∫[0,π] dθ cos^2 θ sin θ = P/(3ε0). 求める電場はPと同じ向きで， E = P/(3ε0).
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