不等式のこの後はどうしたら？

質問

２つの方程式x^2-(a+1)x+a>0,3x^2-2x-1<0を満たすxが存在するような
定数aの値の範囲を求めよ

という問題で
a<1のとき x<a、1<a
a=1のとき(x-a)^2>0
1<aのときx<1、 a<1

-1/3<x<1

この先はどうするのですか？
定数aを満たすとはどういう意味ですか？教えてください。

回答No.1

oosaka_ossan · ベストアンサー

たとえばaが10なら
x^2-11x+10>0だから
x<1　または　x>10
が答えですよね、ですからx=0は、元の1式・2式のいずれの式も
OK（満たす）ですから、問題ないのです。
ところがaが-10なら
x^2+9x-10>0だから
x<-10　または　x>1
となりまして、2式の範囲との重なりは全くなくなっています
つまりaの値によっては1式と2式の示す範囲の重なりが無くなる
ことがあるのです。そこでこの問題は重なりがなくならない
場合のaの範囲を求めなさいという意味です。

回答No.3

take_5

もし、座標を習ってるなら簡単に解ける。

x^2-(a+1)x+a＞0より、（x-1）*（x-a）＞0　‥‥(1)、3x^2-2x-1<0より、（3x+1）*（x-1）＜0　‥‥(2)とする。
(1)から、（x-1）＞0、（x-a）＞0　、or、（x-1）＜0、（x-a）＜0に注意して、aをy軸にとって、xa平面上に図示して、a＝k（x軸に平行な直線）　として動かしてみる。
そうすると、(1)と(2)が共通範囲を持つaの範囲は、殆ど自明だろう。

この解法は、視覚的にも間違いにくく、場合わけもいらないという利点がある。
座標を習っているならお勧め。。。。。。。笑

回答No.2

geb03703

「～を満たすxが存在するような定数aの値の範囲を求めよ」というのは、今回の場合には「連立不等式の解がある(解なしとはならない)ように定数ａの値の範囲を求めよ」という意味になります。
　もう少し簡単にすると「不等式両方の解がどこかで重なるようなａを見つけなさい」ということです。

具体的には
(1)　２つ目の不等式の解を数直線上に書いてみて、
(2)　１つ目の不等式の解を、(1)のどこかに重なる(共通部分がある)ように書いてみましょう。「１」は位置を変えられないので、「ａ」を数直線上でスライドさせることになります。
(3)　(1)と(2)の作業を場合分けの数だけ繰り返します。

解き方にあわせると「ａ＞１」「ａ＝１」「－１/３＜ａ＜１」の３つとなり、
解答は「－１/３＜ａ」となります。

慣れてくると数直線を実際に書かなくてもわかるようになりますよ。
他の解き方もいくつかあります。
頑張ってね。